Математические описания электромагнитного поля

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Существуют различные математические описания электромагнитного поля , которые используются при изучении электромагнетизма , одного из четырех фундаментальных взаимодействий природы. В этой статье обсуждается несколько подходов, хотя уравнения выражаются в терминах электрических и магнитных полей, потенциалов и зарядов с токами, вообще говоря.

Метод векторного поля [ править ]

Наиболее распространенное описание электромагнитного поля использует два трехмерных векторных поля, называемых электрическим полем и магнитным полем . Каждое из этих векторных полей имеет значение, определенное в каждой точке пространства и времени, и поэтому часто рассматриваются как функции пространственных и временных координат. Таким образом, они часто записываются как E ( x , y , z , t ) (электрическое поле) и B ( x , y , z , t ) (магнитное поле).

Если только электрическое поле ( E ) не равно нулю и постоянно во времени, это поле называется электростатическим . Точно так же, если только магнитное поле ( B ) не равно нулю и постоянно во времени, поле называется магнитостатическим полем . Однако, если электрическое или магнитное поле зависит от времени, то оба поля должны рассматриваться вместе как связанное электромагнитное поле с использованием уравнений Максвелла .

Уравнения Максвелла в подходе векторного поля [ править ]

Поведение электрических и магнитных полей, будь то электростатика, магнитостатика или электродинамика (электромагнитные поля), регулируется уравнениями Максвелла :

Уравнения Максвелла ( векторные поля )
${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {E} = {\ гидроразрыва {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$	Закон Гаусса
${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}$	Закон Гаусса для магнетизма
${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$	Закон Фарадея
${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ partial t}}}$	Закон Ампера – Максвелла

где ρ - плотность заряда, которая может (и часто зависит) от времени и положения, ε ₀ - электрическая постоянная , μ ₀ - магнитная постоянная , а J - ток на единицу площади, а также функция времени и положения. . Уравнения принимают такую ​​форму в Международной системе величин .

Имея дело только с недисперсными изотропными линейными материалами, уравнения Максвелла часто модифицируют, чтобы игнорировать связанные заряды, заменяя проницаемость и диэлектрическую проницаемость свободного пространства проницаемостью и диэлектрической проницаемостью рассматриваемого линейного материала. Для некоторых материалов, которые имеют более сложную реакцию на электромагнитные поля, эти свойства могут быть представлены тензорами с зависимостью от времени, связанной со способностью материала реагировать на быстрые изменения поля ( дисперсия (оптика) , соотношения Грина – Кубо ), а также, возможно, полевые зависимости, представляющие нелинейные и / или нелокальные реакции материала на поля большой амплитуды ( нелинейная оптика ).

Возможный полевой подход [ править ]

Много раз в использовании и расчете электрических и магнитных полей, подход , используемых сначала вычисляет соответствующий потенциал: электрический потенциал , для электрического поля, и магнитного векторного потенциала , А , для магнитного поля. Электрический потенциал - это скалярное поле, а магнитный потенциал - векторное поле. Вот почему иногда электрический потенциал называют скалярным потенциалом, а магнитный потенциал - векторным. Эти потенциалы можно использовать для нахождения связанных с ними полей следующим образом:${\ displaystyle \ varphi}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$

Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке [ править ]

Эти соотношения можно подставить в уравнения Максвелла, чтобы выразить последнее через потенциалы. Закон Фарадея и закон Гаусса для магнетизма сводятся к идентичности (например, в случае закона Гаусса для магнетизма, 0 = 0 ). Два других уравнения Максвелла оказываются менее простыми.

Эти уравнения, вместе взятые, столь же эффективны и полны, как и уравнения Максвелла. Более того, проблема была несколько уменьшена, поскольку электрическое и магнитное поля вместе имели шесть компонентов, которые нужно было решить. ^[1] В формулировке потенциала есть только четыре компонента: электрический потенциал и три компонента векторного потенциала. Однако эти уравнения более запутаны, чем уравнения Максвелла, использующие электрические и магнитные поля.

Свобода измерения [ править ]

Эти уравнения можно упростить, воспользовавшись тем фактом, что электрическое и магнитное поля являются физически значимыми величинами, которые можно измерить; потенциалов нет. Существует свобода ограничивать форму потенциалов при условии, что это не влияет на результирующие электрические и магнитные поля, что называется калибровочной свободой . Конкретно для этих уравнений, для любого выбора дважды дифференцируемой скалярной функции положения и времени λ , если ( φ , A ) является решением для данной системы, то также и другой потенциал ( φ ′, A ′), задаваемый следующим образом:

${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$

Эту свободу можно использовать для упрощения потенциальной формулировки. Обычно выбирается одна из двух таких скалярных функций: калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Кулоновский калибр [ править ]

Кулоновское датчик выбирается таким образом , что , что соответствует случаю магнитостатики. В терминах λ это означает, что он должен удовлетворять уравнению${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} }$.

Такой выбор функции приводит к следующей формулировке уравнений Максвелла:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}$

Некоторые особенности уравнений Максвелла в кулоновской калибровке заключаются в следующем. Во-первых, найти электрический потенциал очень просто, так как это уравнение является версией уравнения Пуассона . Во-вторых, особенно сложно найти вектор магнитного потенциала. Это большой недостаток этого датчика. Третье, на что следует обратить внимание, и что не сразу очевидно, это то, что электрический потенциал изменяется мгновенно повсюду в ответ на изменение условий в одной местности.

Например, если заряд перемещается в Нью-Йорке в 13:00 по местному времени, то гипотетический наблюдатель в Австралии, который мог бы непосредственно измерить электрический потенциал, измерил бы изменение потенциала в 13:00 по нью-йоркскому времени. Это, по-видимому, нарушает причинно-следственную связь в специальной теории относительности , то есть невозможность передачи информации, сигналов или чего-либо, превышающих скорость света. Решение этой очевидной проблемы заключается в том, что, как было сказано ранее, никакие наблюдатели не могут измерить потенциалы; они измеряют электрическое и магнитное поля. Итак, комбинация ∇ φ и ∂ A / ∂ t Используемый при определении электрического поля восстанавливает ограничение скорости, наложенное специальной теорией относительности для электрического поля, делая все наблюдаемые величины совместимыми с теорией относительности.

Условие калибровки Лоренца [ править ]

Калибровкой, которая часто используется, является калибровочное условие Лоренца . При этом скалярная функция λ выбирается такой, что

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},}$

это означает, что λ должно удовлетворять уравнению

${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}$

Калибровка Лоренца приводит к следующей форме уравнений Максвелла:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Оператор называется даламбертианом (некоторые авторы обозначают это только квадратом ). Эти уравнения являются неоднородными версиями волнового уравнения , где члены в правой части уравнения служат функциями источника волны. Как и любое волновое уравнение, эти уравнения приводят к двум типам решений: опережающим потенциалам (которые связаны с конфигурацией источников в будущие моменты времени) и запаздывающим потенциалам (которые связаны с прошлыми конфигурациями источников); первые обычно не принимаются во внимание там, где поле анализируется с точки зрения причинно-следственной связи.${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Box }$

Как указывалось выше, калибровка Лоренца не более достоверна, чем любая другая калибровка, поскольку потенциалы не могут быть измерены напрямую, однако калибровка Лоренца имеет то преимущество, что уравнения являются лоренц-инвариантными .

Расширение квантовой электродинамики [ править ]

Каноническое квантование электромагнитных полей происходит за счет повышения скалярного и векторного потенциалов; φ ( x ), A ( x ), от полей к полевым операторам . Подстановка 1 / c ² = ε ₀ μ ₀ в предыдущие калибровочные уравнения Лоренца дает:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

Здесь J и ρ - ток и плотность заряда поля материи . Если поле материи взять так, чтобы описать взаимодействие электромагнитных полей с дираковским электроном, задаваемое четырехкомпонентным спинорным полем Дирака ψ , то плотность тока и заряда имеет вид: ^[2]

${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$

где α - первые три матрицы Дирака . Используя это, мы можем переписать уравнения Максвелла как:

форма, используемая в квантовой электродинамике .

Формулировки геометрической алгебры [ править ]

Аналогично тензорной формулировке вводятся два объекта, один для поля и один для тока. В геометрической алгебре (ГА) это многовекторы . Мультивектор поля, известный как вектор Римана – Зильберштейна , равен

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k}}$

и текущий мультивектор

${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$

где в алгебре физического пространства (АФП) с векторным базисом . Псевдоскалярная единица равна (в предположении ортонормированного базиса ). Ортонормированные базисные векторы разделяют алгебру матриц Паули , но обычно не приравниваются к ним. После определения производной${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k}}$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению ^[3]

В трех измерениях производная имеет особую структуру, позволяющую вводить перекрестное произведение:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$

из которого легко увидеть, что закон Гаусса является скалярной частью, закон Ампера – Максвелла - векторной частью, закон Фарадея - псевдовекторной частью, а закон Гаусса для магнетизма - псевдоскалярной частью уравнения. После расширения и перестановки это можно записать как

${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$

Мы можем идентифицировать APS как подалгебру алгебры пространства-времени (STA) , определяя и . В s имеют те же алгебраические свойства гамма - матриц , но их матричное представление не требуется. Производная теперь${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$${\displaystyle \gamma _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Риман – Зильберштейн становится бивектором.

${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$

а заряд и плотность тока становятся вектором

${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$

Благодаря личности

${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению

Подход с использованием дифференциальных форм [ править ]

Поле 2-форма [ править ]

В свободном пространстве , где ε = ε 0 и μ = μ 0 везде постоянны, уравнения Максвелла значительно упрощаются, если использовать язык дифференциальной геометрии и дифференциальных форм . В дальнейшем используются гауссовские единицы , а не единицы СИ . (Чтобы преобразовать в СИ, см. Здесь .) Электрическое и магнитное поля теперь совместно описываются 2-формой F в 4-мерном пространственно - временном многообразии. Тензор Фарадея ( электромагнитный тензор${\displaystyle F_{\mu \nu }}$) можно записать как 2-форму в пространстве Минковского с метрической сигнатурой (- + + +) как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$

которая, как формы кривизны , является внешней производной от электромагнитного потенциала ,

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} =(\partial _{\mu }A_{\nu })\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }}$

Уравнения без источника могут быть записаны действием внешней производной на эту 2-форму. Но для уравнений с источниками ( закон Гаусса и уравнение Ампера-Максвелла ) необходим двойственный по Ходжу к этой 2-форме. Звездный оператор Ходжа преобразует p- форму в ( n - p ) -форму, где n - количество измерений. Здесь он принимает 2-форму ( F ) и дает другую 2-форму (в четырех измерениях, n - p = 4 - 2 = 2 ). Для базисных кокасательных векторов двойственный по Ходжу задается как (см. Оператор звезды Ходжа, § Четыре измерения )

${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$

и так далее. Используя эти соотношения, двойственным к 2-форме Фарадея является тензор Максвелла,

${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

Текущая 3-форма, двойная текущая 1-форма [ править ]

Здесь 3-форма J называется формой электрического тока или 3-формой тока :

${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

с соответствующей дуальной 1-формой:

${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z}$

Уравнения Максвелла затем сводятся к тождеству Бианки и уравнению источника соответственно: ^[4]

где d обозначает внешнюю производную - естественный, не зависящий от координат и метрики дифференциальный оператор, действующий на формы, а (двойственный) оператор звезды Ходжа - это линейное преобразование из пространства 2-форм в пространство (4-2) - формы, определяемые метрикой в пространстве Минковского (в четырех измерениях даже любой метрикой, конформной этой метрике). Поля выражены в натуральных единицах, где 1 / 4π ε ₀ = 1 .${\displaystyle {\star }}$

Поскольку d ² = 0, 3-форма J удовлетворяет закону сохранения тока ( уравнение неразрывности ):

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$

Текущая 3-форма может быть интегрирована в 3-мерную область пространства-времени. Физическая интерпретация этого интеграла - это заряд в этой области, если она пространственноподобна, или количество заряда, которое течет через поверхность за определенный промежуток времени, если эта область является пространственноподобной поверхностью, пересекающей временной интервал. Поскольку внешняя производная определена на любом многообразии , версия тождества Бьянки с дифференциальной формой имеет смысл для любого 4-мерного многообразия, тогда как уравнение источника определяется, если многообразие ориентировано и имеет метрику Лоренца. В частности, версия уравнений Максвелла в дифференциальной форме представляет собой удобную и интуитивно понятную формулировку уравнений Максвелла в общей теории относительности.

Примечание. В большей части литературы обозначения и меняются местами, так что 1-форма называется током, а 3-форма - дуальным током. ^[5]${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$

Линейное макроскопическое влияние вещества [ править ]

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается более общим линейным преобразованием в пространстве 2-форм. Мы называем

${\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}}$

конститутивное преобразование. Роль этого преобразования сравнима с преобразованием двойственности Ходжа. Уравнения Максвелла в присутствии материи становятся:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$

где текущая 3-форма J по- прежнему удовлетворяет уравнению неразрывности d J = 0 .

Когда поля выражаются как линейные комбинации ( внешних продуктов ) базисных форм θ ^p ,

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.}$

определяющее отношение принимает вид

${\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$

где коэффициентные функции поля антисимметричны по индексам, а определяющие коэффициенты антисимметричны по соответствующим парам. В частности, преобразование двойственности Ходжа, приводящее к рассмотренным выше уравнениям вакуума, получается следующим образом:

${\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\epsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$

который с точностью до масштабирования является единственным инвариантным тензором этого типа, который может быть определен с помощью метрики.

В этой формулировке электромагнетизм немедленно обобщается на любое 4-мерное ориентированное многообразие или с небольшими изменениями на любое многообразие.

Альтернативная подпись метрики [ править ]

В знаковом соглашении физиков о частицах для метрической сигнатуры (+ - - -) потенциальная 1-форма имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z}$.

2-форма кривизны Фарадея становится

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$

и тензор Максвелла принимает вид

${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}$.

Текущая 3-форма J -

${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

и соответствующая двойственная 1-форма есть

${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z}$.

Текущая норма теперь положительна и равна

${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=(\rho ^{2}+j_{x}^{2}+j_{y}^{2}+j_{z}^{2})\,{\star }(1)}$,

с канонической формой объема .${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

Искривленное пространство-время [ править ]

Традиционная формулировка [ править ]

Материя и энергия порождают искривление пространства-времени . Это предмет общей теории относительности . Искривление пространства-времени влияет на электродинамику. Электромагнитное поле, имеющее энергию и импульс, также создает искривление в пространстве-времени. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени ковариантными производными . (Является ли это подходящим обобщением, требует отдельного исследования.) Уравнения с источниками и без источников становятся ( cgs-гауссовские единицы ):

${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$

и

${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$

Здесь,

${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }\!}$

- символ Кристоффеля, который характеризует кривизну пространства-времени, а ∇ _α - ковариантная производная.

Формулировка в терминах дифференциальных форм [ править ]

Формулировку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм можно без изменений использовать в общей теории относительности. Эквивалентность более традиционной общей релятивистской формулировки, использующей ковариантную производную, с формулировкой дифференциальной формы можно увидеть следующим образом. Выберем локальные координаты x ^α, которые дают основу 1-форм d x ^α в каждой точке открытого множества, где определены координаты. Используя этот базис и cgs-гауссовские единицы, мы определяем

• Антисимметричный тензор поля F _αβ , соответствующий 2-форме поля F

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$

• Инфинитезимальная 3-форма вектора тока J

${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$

Эпсилон-тензор, сжатый с дифференциальной 3-формой, дает в 6 раз больше необходимых членов.

Здесь g , как обычно, определитель матрицы, представляющей метрический тензор , g _αβ . Небольшое вычисление, использующее симметрию символов Кристоффеля (т. Е. Отсутствие кручения связности Леви-Чивиты ) и ковариантную постоянство звездного оператора Ходжа, затем показывает, что в этой координатной окрестности мы имеем:

• идентичность Бьянки

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$

• исходное уравнение

${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\eta }=\mathbf {J} ,}$

• уравнение неразрывности

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$

Классическая электродинамика как кривизна линейного пучка [ править ]

Элегантный и интуитивно понятный способ сформулировать уравнения Максвелла - использовать комплексные линейные расслоения или главное U (1) -расслоение , на слоях которого U (1) действует регулярно . Главным U (1) - соединение ∇ на расслоении линии имеет кривизну Р = ∇ ² , которая представляет собой два-формы , которая автоматически удовлетворяет d F = 0 и может быть интерпретирована как напряженности поля. Если линия расслоение тривиально с плоской опорной соединительной д можно записать ∇ = D + и Р = д с A по1-форма, составленная из электрического потенциала и магнитного векторного потенциала .

В квантовой механике сама связь используется для определения динамики системы. Такая формулировка позволяет естественным образом описать эффект Ааронова – Бома . В этом эксперименте статическое магнитное поле проходит через длинный магнитный провод (например, железный провод, намагниченный в продольном направлении). Вне этого провода магнитная индукция равна нулю, в отличие от векторного потенциала, который существенно зависит от магнитного потока через поперечное сечение провода и не исчезает снаружи. Поскольку электрического поля также нет, тензор Максвелла F = 0 во всей области пространства-времени вне трубки во время эксперимента. Это по определению означает, что связность ∇ здесь плоская.

Однако, как уже упоминалось, связь зависит от магнитного поля через трубку, поскольку голономия вдоль несжимаемой кривой, окружающей трубку, представляет собой магнитный поток через трубку в соответствующих единицах. Это можно обнаружить квантово-механически с помощью эксперимента по дифракции электронов с двумя щелями на электронной волне, бегущей по трубке. Голономия соответствует дополнительному фазовому сдвигу, который приводит к сдвигу дифракционной картины. ^{[6] [7]}

Обсуждение [ править ]

Ниже приведены причины использования каждого из таких составов.

Возможная формулировка [ править ]

В развитой классической механике часто бывает полезно, так и в квантовой механике часто существенной, чтобы выразить уравнения Максвелла в потенциальной композиции с участием электрического потенциала (также называемого скалярным потенциалом ) ф , а магнитный потенциалом (а вектор - потенциал ) А . Например, при анализе радиоантенн полностью используются векторные и скалярные потенциалы Максвелла для разделения переменных - общий метод, используемый при формулировании решений дифференциальных уравнений. Потенциалы могут быть введены с помощью леммы Пуанкаре об однородных уравнениях для их универсального решения (это предполагает, что мы рассматриваемтопологически простой (например, сжимаемое пространство ). Потенциалы определены, как в таблице выше. В качестве альтернативы эти уравнения определяют E и B в терминах электрического и магнитного потенциалов, которые затем удовлетворяют однородным уравнениям для E и B как тождеств. Подстановка дает неоднородные уравнения Максвелла в потенциальной форме.

Множество различных вариантов выбора A и φ согласуются с данными наблюдаемыми электрическими и магнитными полями E и B , поэтому потенциалы, кажется, содержат больше ( классически ) ненаблюдаемой информации. Однако неединственность потенциалов хорошо понятна. Для каждой скалярной функции положения и времени λ ( x , t ) потенциалы могут быть изменены калибровочным преобразованием как

${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$

без изменения электрического и магнитного поля. Две пары калибровочно преобразованных потенциалов ( φ , A ) и ( φ ′, A ′) называются калибровочными эквивалентными , а свобода выбора любой пары потенциалов в своем классе калибровочной эквивалентности называется калибровочной свободой . Снова по лемме Пуанкаре (и при ее предположениях) калибровочная свобода является единственным источником неопределенности, поэтому формулировка поля эквивалентна формулировке потенциала, если мы рассматриваем потенциальные уравнения как уравнения для классов калибровочной эквивалентности.

Потенциальные уравнения можно упростить с помощью процедуры, называемой фиксацией калибровки . Поскольку потенциалы определены только с точностью до калибровочной эквивалентности, мы можем наложить дополнительные уравнения на потенциалы, пока для каждой пары потенциалов существует калибровочная эквивалентная пара, которая удовлетворяет дополнительным уравнениям (т.е. если уравнения фиксации калибровки определяют срез до действия датчика). Потенциалы с фиксированной калибровкой по-прежнему обладают калибровочной свободой при всех калибровочных преобразованиях, которые оставляют уравнения фиксации калибровки инвариантными. Изучение потенциальных уравнений предлагает два естественных выбора. В кулоновской калибровке полагаем ∇ ⋅ A = 0который в основном используется в случае магнитостатики, когда мы можем пренебречь членом c ⁻² ∂ ² A / ∂ t ² . В шкале Лоренца (названной в честь датчанина Людвига Лоренца ) мы накладываем

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$

Калибровочное условие Лоренца имеет то преимущество, что является лоренц-инвариантным и приводит к лоренц-инвариантным уравнениям для потенциалов.

Явно ковариантный (тензорный) подход [ править ]

Уравнения Максвелла точно согласуются со специальной теорией относительности - т.е. если они верны в одной инерциальной системе отсчета, то они автоматически справедливы и в любой другой инерциальной системе отсчета. Фактически, уравнения Максвелла сыграли решающую роль в историческом развитии специальной теории относительности. Однако в обычной формулировке уравнений Максвелла их совместимость со специальной теорией относительности неочевидна; это может быть доказано только кропотливым расчетом.

Например, рассмотрим проводник, движущийся в поле магнита . ^[8] В рамке магнита этот проводник испытывает магнитную силу. Но в рамках проводника, движущегося относительно магнита, на проводник действует сила из-за электрического поля. Движение точно согласовано в этих двух разных системах отсчета, но математически возникает совершенно по-разному.

По этой и другим причинам часто бывает полезно переписать уравнения Максвелла так, чтобы они были «явно ковариантными» - то есть, очевидно, совместимыми со специальной теорией относительности, даже при простом взгляде на уравнения - используя ковариантные и контравариантные четырехвекторы и тензоры . Это можно сделать с помощью тензора электромагнитной индукции F или 4-потенциала A с 4-током J - см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .

Подход с использованием дифференциальных форм [ править ]

Ряд Гаусса и закон Фарадея-Максвелла могут быть сгруппированы вместе , поскольку уравнения являются однородными, и следует рассматривать как геометрические тождеств , выражающих поле F (2-форма), которая может быть получена из 4-потенциала А . Закон Гаусса для электричества и закон Ампера – Максвелла можно рассматривать как динамические уравнения движения полей, полученные с помощью лагранжевого принципа наименьшего действия , из «члена взаимодействия» AJ (вводимого через калибровочные ковариантные производные), связывая поле с материей. Для полевой формулировки уравнений Максвелла в терминах принципа экстремального действия см электромагнитный тензор .

Часто производная по времени в уравнении Фарадея – Максвелла мотивирует назвать это уравнение «динамическим», что несколько вводит в заблуждение в смысле предыдущего анализа. Это скорее артефакт нарушения релятивистской ковариации путем выбора предпочтительного направления времени. Чтобы иметь физические степени свободы, распространяемые этими уравнениями поля, необходимо включить кинетический член F ⋆ F для A и учесть нефизические степени свободы, которые могут быть удалены калибровочным преобразованием A ↦ A - d α . См. Также « Установка датчика» и « Призраки Фаддеева – Попова» .

Подход геометрического исчисления [ править ]

В этой формулировке используется алгебра, которую пространство-время порождает путем введения дистрибутивного, ассоциативного (но не коммутативного) произведения, называемого геометрическим произведением . Элементы и операции алгебры обычно могут быть связаны с геометрическим смыслом. Члены алгебры могут быть разложены по ступеням (как в формализме дифференциальных форм), и (геометрическое) произведение вектора с k -вектором разлагается на ( k - 1) -вектор и ( k + 1) -вектор. Компонент ( k - 1) -вектора может быть идентифицирован с внутренним произведением и ( k + 1)-векторная составляющая с внешним продуктом. Для алгебраического удобства геометрическое произведение обратимо, а внутреннее и внешнее - нет. Производные , которые появляются в уравнениях Максвелла векторы и электромагнитные поля представлены Фарадеем бивекторного F . Эта формулировка такая же общая, как и формулировка дифференциальных форм для многообразий с метрическим тензором, поскольку тогда они естественным образом отождествляются с r- формами и существуют соответствующие операции. В этом формализме уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению. Это уравнение можно разделить на части, как это сделано выше для сравнения.

См. Также [ править ]

• Исчисление Риччи
• Уравнение электромагнитной волны
• Скорость света
• Электрическая постоянная
• Магнитная постоянная
• Свободное место
• Ближнее и дальнее поле
• Электромагнитное поле
• Электромагнитное излучение
• Квантовая электродинамика
• Список уравнений электромагнетизма

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Варник, Карл; Рассер, Питер (2014). "Дифференциальные формы и теория электромагнитного поля" (PDF) . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма . 148 : 83–112. DOI : 10.2528 / PIER14063009 .
• Рассер, Питер (2006). Электромагнетизм, СВЧ-схемы и антенны для техники связи (2-е изд.). Артек Хаус. ISBN 978-1-58053-907-4.(с рабочими проблемами в Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9 ) 
• Хель, Фридрих; Обухов, Юрий (2003). Основы классической электродинамики . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 978-0-521-71595-9.