Квадрика (алгебраическая геометрия)

Два семейства прямых на гладкой (расщепленной) квадратичной поверхности

В математике , А квадрика или квадрика гиперповерхность есть подпространство N - мерного пространство , определяемое полиномиальное уравнение степени 2 над полем . Квадрики - фундаментальные примеры алгебраической геометрии . Теория упрощается, работая в проективном пространстве, а не в аффинном пространстве. Примером может служить квадратичная поверхность

${\ displaystyle xy = zw}$

в проективном пространстве над комплексными числами C . Квадрика имеет естественное действие ортогональной группы , и поэтому изучение квадрик можно рассматривать как потомок евклидовой геометрии .${\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {3}}$

Многие свойства квадрик верны в более общем случае для проективных однородных многообразий . Другое обобщение квадрик дают многообразия Фано .

Основные свойства [ править ]

По определению квадрика X размерности n над полем k является подпространством, определяемым равенством q = 0, где q - ненулевой однородный многочлен степени 2 над k от переменных . (Однородный многочлен также называется формой , поэтому q можно назвать квадратичной формой .) Если q - произведение двух линейных форм, то X - объединение двух гиперплоскостей . Распространено предположить , что и д является неприводимым${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$, что исключает этот особый случай.

Здесь алгебраические многообразия над полем k рассматриваются как особый класс схем над k . Когда к является алгебраически замкнутым , можно также думать о проективном многообразии в более элементарном способе, как подмножество определяется однородными полиномиальными уравнениями с коэффициентами в к .${\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {N} (k) = (k ^ {N + 1} -0) / k ^ {*}}$

Особая квадратичная поверхность, конус над гладкой конической кривой

Если q можно записать (после некоторой линейной замены координат) как многочлен от собственного подмножества переменных, то X - проективный конус над квадрикой меньшей размерности. Разумно сосредоточить внимание на случае, когда X не является конусом. Для к о характеристике не 2, Х не является конусом , если и только если Х является гладким над K . Когда к имеет характеристики не 2, гладкость квадрики также эквивалентна гессенском матрицу из ц , имеющей от нуля определителя, либо к невырожденной ассоциированной билинейной форме b ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ) . В общем, для k характеристики , отличной от 2, ранг квадрики означает ранг матрицы Гессе. Квадрика ранга r - это повторный конус над гладкой квадрикой размерности r - 2. ^[1]

Это фундаментальный результат , что гладкая квадрика над полем к является рациональным над к тогда и только тогда , когда X имеет K - рациональная точка . ^[2] То есть, если существует решение уравнения q = 0 вида с in k , а не все нули (следовательно, соответствующее точке в проективном пространстве), то существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой рациональные функции над k между минус подмножество меньшей размерности и X минус подмножество меньшей размерности. Например, если k${\ Displaystyle (а_ {0}, \ ldots, а_ {п + 1})}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n + 1}}$${\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {n}}$бесконечно, то если X имеет одну k -рациональную точку, то их бесконечно много. Эта эквивалентность доказана стереографической проекцией . В частности, любая квадрика над алгебраически замкнутым полем рациональна.

Квадрика над полем k называется изотропной, если она имеет k -рациональную точку. Примером анизотропной квадрики является квадрика

${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 0}$

в проективном пространстве над вещественными числами R .${\ Displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {п + 1}}$

Линейные подпространства квадрик [ править ]

Центральная часть геометрии квадрик - это изучение содержащихся в них линейных пространств. (В контексте проективной геометрии линейное подпространство изоморфно для некоторых .) Ключевым моментом является то, что каждое линейное пространство, содержащееся в гладкой квадрике, имеет размерность не более половины размерности квадрики. Более того, когда k алгебраически замкнуто, это оптимальная граница, означающая, что каждая гладкая квадрика размерности n над k содержит линейное подпространство размерности . ^[3]${\ Displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {N}}$${\displaystyle {\mathbf {P} }^{a}}$${\displaystyle a\leq N}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

Над любым полем k гладкая квадрика размерности n называется расщепленной, если она содержит линейное пространство размерности над k . Таким образом, каждая гладкая квадрика над алгебраически замкнутым полем расщепляется. Если квадрика X над полем k расщепляется, то ее можно записать (после линейной замены координат) как${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m-2}x_{2m-1}+x_{2m}^{2}=0}$

если X имеет размер 2 м - 1, или

${\displaystyle x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m}x_{2m+1}=0}$

если X имеет размер 2 м . ^[4] В частности, над алгебраически замкнутым полем существует только одна гладкая квадрика каждой размерности с точностью до изоморфизма.

Для многих приложений, важно описать пространство Y всех линейных подпространств максимальной размерности в данной гладкой квадрике X . (Для ясности, предположим , что X расщепляется над к .) Ярким явлением является то , что Y является подключен , если Х имеет нечетную размерность, в то время как она имеет две компоненты связности , если Х имеет даже размерность. То есть есть два разных «типа» максимальных линейных пространств в X, когда X имеет четную размерность. Эти два семейства можно описать следующим образом: для гладкой квадрики X размерности 2 м зафиксируем одну m- плоскостьВопрос , содержащийся в X . Тогда два типа m -плоскостей P, содержащихся в X , различаются по тому, является ли размерность пересечения четной или нечетной. ^[5] (Размерность пустого множества здесь взята равной −1.)${\displaystyle P\cap Q}$

Маломерные квадрики [ править ]

Пусть X - расщепленная квадрика над полем k . (В частности, X может быть любой гладкой квадрикой над алгебраически замкнутым полем.) В малых размерностях X и линейные пространства, которые оно содержит, можно описать следующим образом.

• Квадрика в называется коникой . Расщепленная коника над k изоморфна проективной прямой над k , вложенной в нее вторым вложением Веронезе . ^[6] (Например, эллипсы, параболы и гиперболы - это разные виды коник в аффинной плоскости над R , но их замыкания в проективной плоскости изоморфны над R. )${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Отделенная квадрика X изоморфно , встроенная в по вложению Сегры . Пространство прямых в квадратичной поверхности X имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна . ^[7]${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

• Расщепляемую трехмерную квадрику X можно рассматривать как изотропный грассманиан для симплектической группы Sp (4, k ). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейных алгебраических групп между SO (5, k ) и .) А именно, учитывая 4-мерное векторное пространство V с симплектической формой , трехмерную квадрику X можно отождествить с пространством LGr (2,4) 2-плоскостей в V, на которых форма ограничивается нулем. Кроме того, пространство прямых в трехмерной квадрике X изоморфно . ^[8]${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,k)/\{\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• Расщепленную 4-кратную квадрику X можно рассматривать как грассманиан Gr (2,4), пространство 2-плоскостей в 4-мерном векторном пространстве (или, что эквивалентно, прямых в ). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейных алгебраических групп между SO (6, k ) и .) Пространство 2-плоскостей в четырехмерной квадрике X имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна . ^[9]${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {SL} (4,k)/\{\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

• Пространство 2-плоскостей в расщепленной 5-кратной квадрике изоморфно 6-кратной расщепленной квадрике. Аналогично, обе компоненты пространства 3-плоскостей в 6-кратной расщепленной квадрике изоморфны 6-кратной расщепленной квадрике. (Это связано с феноменом тройственности для группы Spin (8).)

Как показывают эти примеры, пространство m -плоскостей в расщепленной квадрике размерности 2 m всегда имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна изотропному грассманиану ( m - 1) -плоскостей в расщепленной квадрике размерности 2 m - 1. ^[10] Любое отражение в ортогональной группе изоморфно отображает одну компоненту в другую.

Разложение Брюа [ править ]

Гладкая квадрика над полем k является проективным однородным многообразием для ортогональной группы (и для специальной ортогональной группы ), рассматриваемой как линейные алгебраические группы над k . Как и любое проективное однородное многообразие для расщепленной редуктивной группы , расщепленная квадрика X имеет разложение алгебраических клеток, известное как разложение Брюа . (В частности, это относится к любой гладкой квадрике над алгебраически замкнутым полем.) То есть X можно записать как конечное объединение непересекающихся подмножеств, изоморфных аффинным пространствам над kразличных размеров. (Для проективных однородных многообразий клетки называются клетками Шуберта , а их замыкания - многообразиями Шуберта .) Клеточные многообразия очень особенные среди всех алгебраических многообразий. Например, клеточное многообразие рационально , и (при k = C ) теория Ходжа гладкого проективного клеточного многообразия тривиальна в том смысле, что при . Для клеточного сорта, Чоу группа алгебраических циклов на X является свободной абелевой группой на множестве клеток, как это имеет место интеграл гомологии по X (если к${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$${\displaystyle p\neq q}$= C ). ^[11]

Разделенная квадрика X размерности n имеет только одну ячейку каждого измерения r , за исключением среднего измерения четномерной квадрики, где есть две ячейки. Соответствующие замыкания клеток (многообразия Шуберта): ^[12]

• Для , линейное пространство , содержащееся в X .${\displaystyle 0\leq r<n/2}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• При r = n / 2 оба многообразия Шуберта являются линейными пространствами, содержащимися в X , по одному от каждого из двух семейств линейных пространств средней размерности (как описано выше).${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$

• Действительно , многообразие Шуберта размерности r является пересечением X с линейным пространством размерности r + 1 в ; так что это r -мерная квадрика. Это повторный конус над гладкой квадрикой размерности 2 r - n .${\displaystyle n/2<r\leq n}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n+1}}$

Используя разложение Брюа, легко вычислить кольцо Чоу расщепленной квадрики размерности n над полем следующим образом. ^[13] Когда базовым полем являются комплексные числа, это также целое кольцо когомологий гладкой квадрики с изоморфным отображением в . (Когомологии в нечетных степенях равны нулю.)${\displaystyle CH^{j}}$${\displaystyle H^{2j}}$

• Для n = 2 m - 1 ,, где | h | = 1 и | л | =  м .${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m}-2l,l^{2})}$

• Для п = 2 м , где | ч | = 1 и | л | =  m , а a равно 0 для нечетных m и 1 для четных m .${\displaystyle CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m+1}-2hl,l^{2}-ah^{m}l)}$

Здесь ч класс гиперплоского сечения и л класс максимального линейного подпространства в X . (Для n  = 2 m класс другого типа максимального линейного подпространства равен .) Это вычисление показывает важность линейных подпространств квадрики: кольцо Чжоу всех алгебраических циклов на X порождается "очевидным" элементом ч (отстранился от класса гиперплоскости в ) вместе с классом максимального линейного подпространства в X .${\displaystyle h^{m}-l}$${\displaystyle c_{1}O(1)}$${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n+1}}$

Изотропные грассманианы и спинорное многообразие [ править ]

Пространство r -плоскостей в гладкой n -мерной квадрике (как и сама квадрика) является проективным однородным многообразием, известным как изотропный грассманиан или ортогональный грассманиан OGr ( r  + 1,  n  + 2). (Нумерация относится к размерностям соответствующих векторных пространств. В случае линейных подпространств средней размерности в квадрике четной размерности 2 м записывается для одной из двух компонент связности.) В результате изотропные грассманианы расщепленная квадрика над полем также имеет разложения алгебраических клеток.${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$

Изотропный грассманиан W = OGr ( m , 2 m  + 1) ( m  - 1) -плоскостей в гладкой квадрике размерности 2 m  - 1 также называется спинорным многообразием размерности m ( m  + 1) / 2. (Другое описание спинорного многообразия - as . ^[10] ) Чтобы объяснить название: наименьшее SO (2 m  + 1) - эквивариантное проективное вложение W попадает в проективное пространство размерности . ^[14] Действие SO (2 m  + 1) на этом проективном пространстве не происходит из линейного представления SO (2${\displaystyle \operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)}$${\displaystyle 2^{m}-1}$m +1) над k , а скорее из представления его односвязного двойного покрытия, спиновой группы Spin (2 m  + 1) над k . Это называется спиновым представлением Spin (2 m  + 1) размерности .${\displaystyle 2^{m}}$

Над комплексными числами изотропный грассманиан OGr ( r  + 1,  n  + 2) r- плоскостей в n -мерной квадрике X является однородным пространством для комплексной алгебраической группы , а также для ее максимальной компактной подгруппы , компактной группы Ли группа SO ( n  + 2). С последней точки зрения этот изотропный грассманиан есть${\displaystyle G=\operatorname {SO} (n+2,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (r+1)\times \operatorname {SO} (n-2r)),}$

где U ( r +1) - унитарная группа . При r = 0 изотропный грассманиан - это сама квадрика, которую, следовательно, можно рассматривать как

${\displaystyle \operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SO} (n)).}$

Например, сложное спинорное многообразие OGr ( m , 2 m  + 1) можно рассматривать как SO (2 m  + 1) / U ( m ), а также как SO (2 m +2) / U ( m +1) . Эти описания могут быть использованы для вычисления кольца когомологий (или, что эквивалентно, кольца Чжоу) спинорного многообразия:

${\displaystyle CH^{*}\operatorname {OGr} (m,2m+1)\cong \mathbb {Z} [e_{1},\ldots ,e_{m}]/(e_{j}^{2}-2e_{j-1}e_{j+1}+2e_{j-2}e_{j+2}-\cdots +(-1)^{j}e_{2j}=0{\text{ for all }}j),}$

где классы Черна естественного векторного расслоения ранга m равны . ^[15] Здесь подразумевается 0 при  j  >  m .${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle 2e_{j}}$${\displaystyle e_{j}}$

Спинорные связки на квадриках [ править ]

В пучках Спинорные играют особую роль среди всех векторных расслоений на квадрике, аналогичную максимальные линейные подпространства среди всех подмногообразие квадрики. Чтобы описать эти расслоения, пусть X - расщепленная квадрика размерности n над полем k . Специальная ортогональная группа SO ( n +2) над k действует на X , а значит, и ее двойное покрытие, спиновая группа G = Spin ( n +2) над k . В этих терминах X - однородное пространство G / P , где P - максимальноепараболическая подгруппа из G . Полупрост часть Р является спин группы Spin ( п ), а также существует стандартный способ расширения спиновых представлений Spin ( п ) к представлениям Р . (Есть два спинорных представления для n = 2 m , каждое размерности , и одно спинорное представление V для n = 2 m - 1, размерности .) Тогда спинорные расслоения на квадрике X = G / P определяются как G${\displaystyle V_{+},V_{-}}$${\displaystyle 2^{m-1}}$${\displaystyle 2^{m-1}}$-эквивариантные векторные расслоения , связанные с этими представлениями P . Итак , есть два спинорные расслоения ранга для п = 2 м , и один спинорного расслоением S ранга для п = 2 м - 1. Для п даже, любое отражение в ортогональной группе переключает два спинорных расслоения на X . ^[14]${\displaystyle S_{+},S_{-}}$${\displaystyle 2^{m-1}}$${\displaystyle 2^{m-1}}$

Например, два спинорных расслоения на поверхности квадрики - это линейные расслоения O (−1,0) и O (0, −1). Спинорное расслоение на трехмерной квадрике X - это естественное подрасслоение ранга 2 на X, рассматриваемое как изотропный грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном симплектическом векторном пространстве.${\displaystyle X\cong \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}}$

Чтобы указать значение пучков спинорных: Михаил Капранов показал , что ограниченная производная категория из когерентных пучков на раздельную квадрику X над полем к имеет полный исключительный набор с участием пучков спинорных, наряду с «очевидным» линейными расслоениями O ( J ) ограничено проективным пространством:

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

если n четное, и

${\displaystyle D^{b}(X)=\langle S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle }$

если n нечетное. ^[16] Конкретно это означает расщепляемый случай вычисления Ричардом Своном группы Гротендика алгебраических векторных расслоений на гладкой квадрике; это свободная абелева группа

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

для n даже, и

${\displaystyle K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}}$

для n нечетное. ^[17] Когда k = C , топологическая K-группа (непрерывных комплексных векторных расслоений на квадрике X ) задается той же формулой и равна нулю.${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{1}(X)}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Элман, Ричард ; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4329-1, Руководство по ремонту  2427530
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, MR  1644323
• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3, Руководство по ремонту  1416564
• Капранов, М. (1988), "О производных категорий когерентных пучков на некоторых однородных пространствах", Inventiones Mathematicae , 92 : 479-508, DOI : 10.1007 / BF01393744 , МР  0939472
• Мимура, Мамору; Тода, Хироси (1992), Топология групп Ли , Американское математическое общество, ISBN 978-0821813423, Руководство по ремонту  1122592
• Оттавиани, Giorgio (1988), "Спинорные расслоения на квадрик", Труды Американского математического общества , 307 : 301-316, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1988-0936818-5 , MR  0936818
• Лебедь, Ричард (1985), "K-теория квадрик", Анналы математики , 122 : 113-153, DOI : 10,2307 / 1971371 , MR  0799254