Квазиэмпиризм в математике - это попытка философии математики направить внимание философов на математическую практику , в частности, на отношения с физикой , общественными науками и вычислительной математикой , а не только на вопросы, лежащие в основе математики . В этой дискуссии вызывают беспокойство несколько тем: связь эмпиризма (см. Пенелопа Мэдди ) с математикой , вопросы, связанные с реализмом , важность культуры , необходимость применения и т. Д.
Основные аргументы
Главный аргумент в отношении квазиэмпиризма состоит в том, что, хотя математика и физика часто считаются тесно связанными областями исследования, это может отражать когнитивные предубеждения человека . Утверждается, что, несмотря на неукоснительное применение соответствующих эмпирических методов или математической практики в любой области, этого, тем не менее, будет недостаточно для опровержения альтернативных подходов.
Юджин Вигнер (1960) [1] отметил, что эту культуру не обязательно ограничивать математикой, физикой или даже людьми. Далее он заявил, что «чудо пригодности языка математики для формулировки законов физики - замечательный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что он останется актуальным в будущих исследованиях. и что это распространится, к лучшему или к худшему, к нашему удовольствию, хотя, возможно, и к нашему недоумению, к широким отраслям знания ". Вигнер использовал несколько примеров, чтобы продемонстрировать, почему «недоумение» является подходящим описанием, например, показывая, как математика добавляет к ситуационному знанию способами, которые либо невозможны в противном случае, либо настолько выходят за рамки обычного мышления, что на них мало внимания. Еще одним примером может служить предсказательная способность в смысле описания потенциальных явлений до их наблюдения, которая может быть подтверждена математической системой.
Следуя за Вигнером , Ричард Хэмминг (1980) [2] писал о приложениях математики в качестве центральной темы к этой теме и предположил, что успешное использование иногда может превзойти доказательство в следующем смысле: если теорема имеет очевидную достоверность благодаря применимости, позже доказательства, которые показывают, что доказательство теоремы проблематично, привело бы скорее к попыткам укрепить теорему, чем к попыткам переделать приложения или опровергнуть результаты, полученные на сегодняшний день. У Хэмминга было четыре объяснения «эффективности», которую мы наблюдаем в математике, и определенно он считал эту тему достойной обсуждения и изучения.
- «Мы видим то, что ищем». Почему слово «квази» уместно в связи с этим обсуждением.
- «Мы выбираем, какой вид математики использовать». Мы используем и модифицируем математику в основном ситуативно и целенаправленно.
- «На самом деле наука решает сравнительно немного проблем». Что еще нужно рассмотреть, так это более крупный набор.
- «Эволюция человека предоставила модель». Могут быть пределы, связанные с человеческим фактором.
Для Уилларда Ван Ормана Куайна (1960) [3] существование - это только существование в структуре. Эта позиция актуальна для квазиэмпиризма, потому что Куайн считает, что те же доказательства, которые поддерживают теоретизацию о структуре мира, совпадают с доказательствами, поддерживающими теоретизацию о математических структурах. [4]
Хилари Патнэм (1975) [5] заявила, что математика принимала неофициальные доказательства и доказательства авторитетно и допускала и исправляла ошибки на протяжении всей своей истории. Кроме того, он заявил, что система доказательства геометрических теорем Евклида была уникальна для классических греков и не развивалась аналогичным образом в других математических культурах Китая , Индии и Аравии . Это и другие свидетельства побудили многих математиков отвергнуть ярлык платоников вместе с онтологией Платона, которая, наряду с методами и эпистемологией Аристотеля , служила основой онтологии для западного мира с момента его зарождения. По мнению Патнэма и других (1983) [6] , истинно международная математическая культура обязательно должна быть, по крайней мере, «квази-эмпирической» (включая «научный метод» для достижения консенсуса, если не эксперимент).
Имре Лакатос (1976), [7], который выполнил свою оригинальную работу по этой теме для своей диссертации (1961, Кембридж ), выступал за « исследовательские программы » как средство поддержки основы математики и считал мысленные эксперименты подходящими для математических открытий. . Лакатош, возможно, был первым, кто использовал «квазиэмпиризм» в контексте этого предмета.
Операционные аспекты
К этой теме относятся несколько недавних работ. Работы Грегори Чейтина и Стивена Вольфрама , хотя их позиции могут считаться противоречивыми, применимы. Чейтин (1997/2003) [8] предполагает лежащую в основе случайность математики, а Вольфрам ( A New Kind of Science , 2002) [9] утверждает, что неразрешимость может иметь практическое значение, то есть быть чем-то большим, чем абстракция.
Другим важным дополнением будет дискуссии , касающиеся интерактивных вычислений , особенно те , которые связаны со значением и использованием Тьюринга модели «s ( Тезис Черча-Тьюринга , машины Тьюринга и т.д.).
Эти работы требуют больших вычислительных ресурсов и поднимают еще один набор проблем. Процитирую Чайтина (1997/2003):
Теперь все перевернулось. Это пошло вверх ногами, не из-за каких-либо философских аргументов, не из-за результатов Гёделя , или результатов Тьюринга , или моих собственных результатов неполноты. Он перевернулся по очень простой причине - компьютер! [8] : 96
Другой пример - собрание «Неразрешимых» в Wolfram ( A New Kind of Science , 2002) [9] .
В статье Вегнера 2006 г. «Принципы решения проблем» [10] предполагается, что интерактивные вычисления могут помочь математике сформировать более подходящую основу ( эмпирическую ), чем можно основать только с рационализмом . С этим аргументом связано то, что функция (даже рекурсивно связанная до бесконечности) является слишком простой конструкцией, чтобы обрабатывать реальность сущностей, которые разрешают (посредством вычислений или какого-либо типа аналога) n-мерные (в общем смысле слова) системы.
Смотрите также
- Entscheidungsproblem
- Чарльз Сандерс Пирс
- Карл Поппер
- Философия математики § За пределами традиционных школ
- Постмодернистская математика
- Томас Тимочко
- Неоправданная неэффективность математики
Рекомендации
- ↑ Юджин Вигнер , 1960, « Неоправданная эффективность математики в естественных науках », Сообщения по чистой и прикладной математике 13 :
- ^ RW Хэмминга , 1980, неразумная Эффективность математики , American Mathematical Monthly Volume 87 Номера 2 февраля 1980
- ^ Уиллард Ван Орман Куайн (1960), Слово и объект , MIT Press, стр. 22.
- ^ Пол Эрнест (редактор), Математическое образование и философия: международная перспектива , Routledge, 2003, стр. 45.
- Перейти ↑ Putnam, Hilary , 1975, Mind, Language, and Reality. Философские статьи, Том 2 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания. ISBN 88-459-0257-9
- ^ Бенасерраф, Пол , и Патнэм, Хилари (ред.), 1983, Философия математики, Избранные чтения , первое издание, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2е издание, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1983
- Перейти ↑ Lakatos, Imre (1976), Доказательства и опровержения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29038-4
- ^ a b Чайтин, Грегори Дж. , 1997/2003, « Пределы математики». Архивировано 1 января 2006 г., в Wayback Machine , Springer-Verlag, Нью-Йорк, Нью-Йорк. ISBN 1-85233-668-4
- ^ a b Вольфрам, Стивен , 2002, A New Kind of Science ( Undecidables ), Wolfram Media, Чикаго, Иллинойс. ISBN 1-57955-008-8
- ^ Питер Вегнер , Дина Голдин, 2006, « Принципы решения проблем ». Сообщения ACM 49 (2006), стр. 27–29.