Квазидиэдральная группа

Граф Кэли группы квазидиэдра порядка 16

Граф Кэли модулярной максимальной циклической группы порядка 16

Граф Кэли диэдральной группы порядка 16

В математике , как квази-двугранные группы , называемые также полудиедралъа группой , определенные неабелевыми группы из порядка степень 2. Для каждого положительного целого числа п больше или равно 4, существует ровно четыре классов изоморфизма не- абелевые группы порядка 2 ^п , которые имеют циклическую подгруппу из индекса 2. два хорошо известно, то обобщенная группа кватернионов и группа диэдра. Одна из оставшихся двух групп часто считается особенно важной, поскольку она является примером 2-группы максимального класса нильпотентности . В тексте Endliche Gruppen Бертрама Хупперта эта группа называется «Quasidiedergruppe». В тексте Даниэля Горенштейна « Конечные группы» эта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдральной группой»; мы используем это имя в этой статье. Все представляют одинаковую презентацию для этой группы:

${\ Displaystyle \ langle r, s \ mid r ^ {2 ^ {n-1}} = s ^ {2} = 1, \ srs = r ^ {2 ^ {n-2} -1} \ rangle \, \!}$.

Другой неабелевой 2-группе с циклической подгруппой индекса 2 не дается специального имени ни в одном тексте, а обозначается просто G или M _m (2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модулярной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп является модульной , поэтому в этой статье эта группа будет называться модулярной максимальной циклической группой. Его презентация:

${\ Displaystyle \ langle r, s \ mid r ^ {2 ^ {n-1}} = s ^ {2} = 1, \ srs = r ^ {2 ^ {n-2} +1} \ rangle \, \!}$.

Обе эти две группы и группа диэдра являются полупрямыми произведениями циклической группы < r  > порядка 2 ^{n −1} с циклической группой < s > порядка 2. Такое неабелево полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 в группе единиц в кольце и есть в точности три таких элементов, , и , что соответствует группе диэдра, в quasidihedral и модульной максимальной-циклической группу.${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2^{n-1}-1}$${\displaystyle 2^{n-2}-1}$${\displaystyle 2^{n-2}+1}$

Обобщенная группа кватернионов, группа диэдра и группа квазидиэдра порядка 2 ⁿ имеют класс нильпотентности n - 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2 ⁿ с классом нильпотентности n - 1. Группы порядка p ⁿ и класс нильпотентности n - 1 были началом классификации всех p -групп через кокласс . Модульная максимальная циклическая группа порядка 2 ⁿ всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модулярную максимальную циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка p ⁿ при больших n имеют 2 класс нильпотентности и их трудно понять напрямую.

Обобщенный кватернион, диэдр и группа квазидиэдра - единственные 2-группы, производная подгруппа которых имеет индекс 4. Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна классифицирует простые группы и в определенной степени конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. .

Примеры [ править ]

Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:

• PSL ₃ ( F _q ) для q ≡ 3 mod 4,
• PSU ₃ ( F _q ) для q ≡ 1 mod 4,
• группы Матье М ₁₁ ,
• GL ₂ ( F _q ) для q 3 mod 4.

Ссылки [ править ]

• Даммит, Д.С. Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN 9780471433347.
• Хупперт, Б. (1967). Endliche Gruppen . Springer. С. 90–93. Руководство по ремонту  0224703 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Горенштейн, Д. (1980). Конечные группы . Челси. С. 188–195. ISBN 0-8284-0301-5. Руководство по ремонту  0569209 . CS1 maint: discouraged parameter (link)