Фактор (универсальная алгебра)

В математике , А фактор - алгебра является результатом разделения элементов с алгебраической структуры , используя отношение конгруэнтности . Фактор-алгебры также называют фактор-алгебрами . Здесь отношение конгруэнтности должно быть отношением эквивалентности , которое дополнительно совместимо со всеми операциями алгебры в формальном смысле, описанном ниже. Его классы эквивалентности разбивают элементы данной алгебраической структуры. Эти классы являются элементами фактор-алгебры, а условия совместимости используются для придания классам алгебраической структуры.^[1]

Идея факторалгебры тезисов в одно общего понятие фактора структуры факторколец из теории колец , фактор групп по теории групп , то фактор - пространства из линейной алгебры и фактор - модули из теории представлений в общую структуру.

Совместимость [ править ]

Пусть множество элементов алгебры , и пусть Е отношение эквивалентности на множестве A . Отношение E называется совместимым (или обладает свойством подстановки по отношению к) n -арной операцией f , если for следует для любой with . Отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры, называется конгруэнцией относительно этой алгебры.${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle (a_ {i}, \; b_ {i}) \ in E}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ displaystyle (f (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}), f (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})) \ in E}$${\ displaystyle a_ {i}, \; b_ {i} \ in A}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$

Фактор-алгебры и гомоморфизмы [ править ]

Любое отношение эквивалентности E в множестве A разбивает это множество на классы эквивалентности . Совокупность этих классов эквивалентности обычно называется множество фактора , и обозначается / E . Для алгебры легко определить операции, индуцированные на элементах A / E, если E - конгруэнция. В частности, для любой операции по арностью в (где верхний индекс просто обозначает , что это операция , в , а нижний индекс перечисляет функции и их арностей) определяют , как${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f_ {я} ^ {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E} :( A / E) ^ {n_ {i}} \ to A / E}$${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$, где обозначает класс эквивалентности, порожденный E (« x  по модулю  E »).${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$${\displaystyle x\in A}$

Для алгебры , учитывая конгруэнцию Е на , алгебра называется фактор - алгебра (или фактор - алгебра ) по модулю Е . Существует естественный гомоморфизм из в отображение каждого элемента в его класс эквивалентности. В самом деле, каждый гомоморфизм ч определяет отношение конгруэнтности через ядро гомоморфизма, .${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$

Для данной алгебры гомоморфизм h, таким образом, определяет две алгебры, гомоморфные образу h (· ) и Эти две изоморфны , результат известен как теорема о гомоморфном образе или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально, пусть - сюръективный гомоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм g from на такой, что g, составленный с естественным гомоморфизмом, индуцированным равным h .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$

Решетка конгруэнтности [ править ]

Для каждой алгебры на множестве А , в отношении идентичности на А, и тривиальные конгруэнции. Алгебра, не имеющая других сравнений, называется простой .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\times A}$

Позвольте быть набор конгруэнций на алгебре . Поскольку сравнения замкнуты относительно пересечения, мы можем определить операцию встречи : просто взяв пересечение конгруэнций .${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$

С другой стороны, сравнения не закрываются при объединении. Тем не менее, мы можем определить замыкание любого бинарного отношения Е , по отношению к фиксированной алгебре , таким образом, что это сравнение, следующим образом: . Обратите внимание, что закрытие бинарного отношения является конгруэнцией и, следовательно, зависит от операций в , а не только от несущего набора. Теперь определим как .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$

Для каждой алгебры , с двумя операциями , определенными выше , образует решетку , называется решетка конгруэнции из .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Мальцевские условия [ править ]

Если два конгруэнции переставлять (коммутирует) с композицией отношений как операции, то есть , то их присоединиться (в конгруэнтности решетке) равно их состав: . Алгебра называется конгруэнтно-перестановочной, если каждая пара ее конгруэнций переставляет; аналогично многообразие называется конгруэнтно-перестановочным, если все его члены являются конгруэнтно-перестановочными алгебрами.${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$

В 1954 году Анатолий Мальцев установил следующую характеристику конгруэнтно-перестановочных многообразий: многообразие конгруэнтно перестановочно тогда и только тогда, когда существует тернарный член q ( x , y , z ) такой, что q ( x , y , y ) ≈ x ≈ д ( у , у , х ) ; это называется мальцевским членом, а многообразия с этим свойством - мальцевскими. Характеристика Мальцева объясняет большое количество схожих результатов в группах (возьмем q = xy⁻¹ z ), кольца, квазигруппы (возьмем q = (x / (y \ y)) (y \ z)) , дополняемые решетки , алгебры Гейтинга и т. Д. Кроме того, каждая конгруэнтно-перестановочная алгебра конгруэнтно-модулярна, т. Е. Ее решетка конгруэнций также является модульной решеткой ; Однако обратное неверно.

После результата Мальцева другие исследователи нашли характеристики, основанные на условиях, подобных найденным Мальцевым, но для других видов свойств, например, в 1967 году Бьярни Йонссон нашел условия для многообразий, имеющих решетки конгруэнции, которые являются дистрибутивными (так называемые конгруэнтно-дистрибутивные многообразия). Обычно такие условия называются условиями Мальцева.

Это направление исследований привело к созданию алгоритма Пиксли – Вилле для генерации условий Мальцева, связанных с тождествами конгруэнтности. ^[2]

См. Также [ править ]

• Факторное кольцо
• Решетка сравнения
• Решетка подгрупп

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Клаус Денеке; Шелли Л. Висмат (2009). Универсальная алгебра и коалгебра . World Scientific. С. 14–17. ISBN 978-981-283-745-5.
• Пурна Чандра Бисвал (2005). Дискретная математика и теория графов . PHI Learning Pvt. ООО п. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
• Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . CRC Press. С. 122–124, 137 (сорта Мальцева). ISBN 978-1-4398-5129-6.