В квантовой теории поля , то распределение вайтмановские может быть аналитически продолжена в аналитических функций в евклидовом пространстве с доменом ограничивается упорядоченного множества точек в евклидовом пространстве с не совпадающими точками. [1] Эти функции называются функциями Швингера (названы в честь Джулиана Швингера ), и они являются вещественно-аналитическими, симметричными относительно перестановки аргументов (антисимметричными для фермионных полей ), евклидовыми ковариантными и обладают свойством, известным как положительность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера-Шрадера.(назван в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шредера ). [2] Функции Швингера также называют евклидовыми корреляционными функциями .
Аксиомы Остервальдера-Шрадера
Здесь мы описываем аксиомы Остервальдера-Шредера (OS) для евклидовой квантовой теории поля эрмитова скалярного поля. , . Обратите внимание, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много локальных операторов, включая также составные операторы , и их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, подобным тем, которые описаны ниже.
Функции Швингера обозначаются как
Аксиомы ОС из [2] пронумерованы (E0) - (E4) и имеют следующее значение:
- (E0) Умеренность
- (E1) Евклидова ковариация
- (E2) Положительность
- (E3) Симметрия
- (E4) Кластерное свойство
Сдержанность
Аксиома умеренности (E0) гласит, что функции Швингера - это умеренные распределения вдали от совпадающих точек. Это означает, что они могут быть интегрированы с тестовыми функциями Шварца, которые обращаются в нуль вместе со всеми их производными в конфигурациях, где две или более точек совпадают. Из этой аксиомы и других аксиом ОС (но не из условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера действительно аналитичны вдали от совпадающих точек.
Евклидова ковариация
Аксиома евклидовой ковариации (E1) утверждает, что функции Швингера преобразуются ковариантно при поворотах и сдвигах, а именно:
для произвольной матрицы вращения и произвольный вектор перевода . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера от полей, преобразующихся в произвольные представления группы вращений. [2] [3]
Симметрия
Аксиома симметрии (E3) говорит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:
- ,
где произвольная перестановка . Вместо этого функции Швингера фермионных полей антисимметричны; для них это уравнение будет иметь знак ±, равный сигнатуре перестановки.
Кластерное свойство
Кластерное свойство (E4) говорит, что функция Швингера сводится к продукту если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным переводом:
- .
Предел понимается в смысле распределений. Существует также техническое предположение, что две группы точек лежат по две стороны от гиперплоскость, а вектор параллельно ему:
Позитивное отражение
Аксиома положительности (E2) утверждает следующее свойство, называемое положительностью отражения (Остервальдера-Шредера). Выберите любую произвольную координату τ и выберите пробную функцию f N с N точками в качестве аргументов. Пусть F N имеет свою поддержку в «хронологического» подмножество N точек с 0 <τ 1 <... <т N . Выберите один такой п N для каждого положительного N , причем F ' S равна нулю для всех N больше , чем некоторого целого числа М . Учитывая точку, позволять - отраженная точка относительно гиперплоскости τ = 0 . Потом,
где * представляет комплексное сопряжение .
Иногда в литературе по теоретической физике положительность отражения формулируется как требование, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно точки. гиперплоскость:
- .
Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.
Интуитивное понимание
Одним из способов (формально) построения функций Швингера, удовлетворяющих указанным выше свойствам, является евклидов интеграл по путям . В частности, евклидовы интегралы по траекториям (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F - любой полиномиальный функционал поля φ , не зависящий от значения φ ( x ) для тех точек x , координаты τ которых неположительны. потом
Поскольку действие S вещественно и может быть разделено на S +, которое зависит только от φ на положительном полупространстве, и S - которое зависит только от φ на отрицательном полупространстве, и если S также оказывается инвариантным относительно комбинированное действие отражения и комплексного сопряжения всех полей, тогда предыдущая величина должна быть неотрицательной.
Теорема Остервальдера – Шредера
Теорема Остервальдера – Шредера [4] утверждает, что евклидовы функции Швингера, которые удовлетворяют указанным выше аксиомам (E0) - (E4) и дополнительному свойству (E0 '), называемому условием линейного роста, могут быть аналитически продолжены до лоренцевых распределений Вайтмана, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана и таким образом определите квантовую теорию поля .
Условие линейного роста
Это условие, названное (E0 ') в [4], утверждает, что когда функция Швингера порядкасопряжен с произвольной тестовой функцией Шварца которое обращается в нуль в совпадающих точках, имеем следующую оценку:
где - целочисленная константа, полунорма пространства Шварца порядка , т.е.
а также последовательность констант факторного роста , т. е. с некоторыми константами .
Условие линейного грота является тонким, поскольку оно должно выполняться для всех функций Швингера одновременно. Он также не был выведен из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0) - (E4) плюс условие линейного роста (E0 ') оказывается сильнее, чем аксиомы Вайтмана .
История
Сначала Остервальдер и Шредер [2] заявили более сильную теорему о том, что аксиомы (E0) - (E4) сами по себе подразумевают аксиомы Вайтмана , однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя [4] они опубликовали новую теорему с добавленным условием линейного роста в качестве предположения и правильным доказательством. Доказательство в [4] основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глезером в [5] ), с помощью которого область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предел . Условие линейного роста (E0 ') критически используется, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.
Ref. [4] также содержит другую теорему, заменяющую (E0 ') еще одним предположением, называемым. Эта другая теорема используется редко, посколькусложно проверить на практике. См., Например, [3] для обзора этих фактов.
Другие аксиомы для функций Швингера
Аксиомы Глимма и Яффе
Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан Глиммом и Яффе в их книге. [6] В этом подходе предполагается, что каждому дана мера на пространстве распределений . Затем рассматривается производящий функционал
который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:
- (OS0) Аналитичность. Это утверждает, что
является целиком аналитической функцией от для любой коллекции компактно поддерживаемые тестовые функции . Интуитивно это означает, что мера затухает быстрее любой экспоненты.
- (OS1) Регулярность . Это требует роста, связанного с с точки зрения , такой как. См. Точное условие в [6] .
- (OS2) Евклидова инвариантность. Это говорит о том, что функционал инвариантен относительно евклидовых преобразований .
- (OS3) Позитивное отражение. Возьмем конечную последовательность тестовых функций которые все поддерживаются в верхнем полупространстве, т.е. . Обозначим через где - это операция отражения, определенная выше. Эта аксиома гласит, что матрица должно быть положительно полуопределенным.
- (OS4) Эргодичность. Полугруппа сдвигов времени действует эргодически на пространстве с мерой. См. Точное условие в [6] .
Связь с аксиомами Остервальдера-Шрадера
Хотя указанные выше аксиомы были названы Глиммом и Яффе (OS0) - (OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера-Шрадера.
Учитывая (OS0) - (OS4), можно определить функции Швингера от как моменты меры , и покажем, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера-Шрадера (E0) - (E4), а также условиям линейного роста (E0 '). Затем можно обратиться к теореме Остервальдера-Шрадера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. В качестве альтернативы, что намного проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0) - (OS4). [6]
Однако заметьте, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов, помимо, такой как , и другие составные операторы, построенные из и его производные. Эти функции Швингера нелегко извлечь из меры и показать, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как и должно быть.
Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, названные (OS0) - (OS4) Глиммом и Яффе, сильнее, чем аксиомы OS, поскольку корреляторы поля обеспокоены, но слабее, чем полный набор аксиом ОС, поскольку они мало говорят о корреляторах составных операторов.
Аксиомы Нельсона
Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . [7] См. Также их описание в книге Барри Саймона. [8] Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Яффе, предполагается, что поле случайное распределение с мерой . Эта мера достаточно регулярна, так что полеимеет регулярность пространства Соболева отрицательного производного порядка. Ключевой особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является марковское свойство , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности.
Смотрите также
- Вращение фитиля
- Аксиоматическая квантовая теория поля
- Аксиомы Вайтмана
Рекомендации
- ^ Streater, РФ; Вайтман, AS (2000). РСТ, спин и статистика и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07062-9. OCLC 953694720 .
- ^ a b c d Остервальдер К. и Шредер Р. "Аксиомы для евклидовых функций Грина", Comm. Математика. Phys. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.
- ^ а б Кравчук, Петр; Цяо, Цзясинь; Рычков, Слава (2021-04-05). "Распределения в ЦФТ II. Пространство Минковского" . arXiv.org . Источник 2021-05-10 .
- ^ а б в г д Остервальдер, Конрад; Шредер, Роберт (1975). «Аксиомы для евклидовых функций Грина II». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 42 (3): 281–305. DOI : 10.1007 / bf01608978 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Глейзер, В. (1974). «Об эквивалентности евклидовой и вайтмановской формулировок теории поля». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 37 (4): 257–272. DOI : 10.1007 / bf01645941 . ISSN 0010-3616 .
- ^ а б в г Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. OCLC 852790676 .
- ^ Нельсон, Эдвард (1973-01-01). «Построение квантовых полей из полей Маркова» . Журнал функционального анализа . 12 (1): 97–112. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (73) 90091-8 . ISSN 0022-1236 . Источник 2021-05-10 .
- ^ Саймон, Барри (1974). Евклидова (квантовая) теория поля P (phi) _2 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08144-1. OCLC 905864308 .