В математической области теории групп , A группа G является остаточно конечной или конечным аппроксимируема , если для каждого элемент г , который не является единица в G существует гомоморфизм ч от G до конечной группы, таким образом, что
Есть несколько эквивалентных определений:
- Группа финитно аппроксимируема, если для каждого неединичного элемента в группе существует нормальная подгруппа конечного индекса, не содержащая этот элемент.
- Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее подгрупп конечного индекса тривиально.
- Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса тривиально.
- Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она может быть вложена внутрь прямого произведения семейства конечных групп.
Примеры
Примерами финитно аппроксимируемых групп являются конечные группы , свободные группы , конечно порожденные нильпотентные группы , почти полициклические группы , конечно порожденные линейные группы и фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий .
Подгруппы финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемы, а прямые произведения финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемы. Любой обратный предел финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируем. В частности, все проконечные группы финитно аппроксимируемы.
Примеры не аппроксимируемых конечных групп можно построить, используя тот факт, что все конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы являются группами Хопфа . Например, группа Баумслага – Солитера B (2,3) не является хопфовой и, следовательно, не финитно аппроксимируема.
Конечная топология
Каждая группа G может быть сделана в топологическую группу , взяв в качестве основы открытых окрестностей единицы, совокупность всех нормальных подгрупп конечного индекса в G . Полученная топология называется проконечные топологии на G . Группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее проконечная топология хаусдорфова .
Группа, циклические подгруппы которой замкнуты в проконечной топологии, называется группой . Группы, каждая из конечно порожденных подгрупп которых замкнута в проконечной топологии, называются подгрупповыми сепарабельными (также LERF для локально расширенных финитно аппроксимируемых ). Группа, в которой каждый класс сопряжённости замкнут в проконечной топологии, называется сепарабельной сопряжённостью .
Многообразия финитно аппроксимируемых групп
Возникает вопрос: каковы свойства многообразия, все группы которого финитно аппроксимируемы? Два результата по этому поводу:
- Любое многообразие, состоящее только из финитно аппроксимируемых групп, порождается A-группой .
- Для любого многообразия, содержащего только финитно аппроксимируемые группы, оно содержит такую конечную группу, что все члены вложены в прямое произведение этой конечной группы.