В математике , в Rogers-Рамануджаном тождества два тождества , связанные с основными гипергеометрических рядов и разбиений . Эти личности были впервые обнаружены и доказаны Леонардом Джеймсом Роджерсом ( 1894 г. ), а затем вновь открыты (без доказательства) Шринивасой Рамануджаном незадолго до 1913 г. У Рамануджана не было доказательств, но он заново открыл статью Роджерса в 1917 г., а затем они опубликовали совместную новое доказательство ( Rogers & Ramanujan 1919 ). Иссай Шур ( 1917 ) независимо заново открыл и доказал тождества.
Определение
Идентичность Роджерса-Рамануджана
а также
Здесь, обозначает символ q-Поххаммера .
Комбинаторная интерпретация
Учтите следующее:
- является производящей функцией для разбиений с точно такие детали, при которых соседние части имеют разницу не менее 2.
- является производящей функцией для разбиений, каждая часть которых конгруэнтна 1 или 4 по модулю 5.
- является производящей функцией для разбиений с точно такие части, что между соседними частями разница не менее 2, а наименьшая часть - не менее 2.
- является производящей функцией для разбиений, каждая часть которых конгруэнтна 2 или 3 по модулю 5.
Тождества Роджерса-Рамануджана теперь можно интерпретировать следующим образом. Позволять быть неотрицательным целым числом.
- Количество разделов такое, что соседние части отличаются как минимум на 2, это то же самое, что и количество разделов такая, что каждая часть конгруэнтна 1 или 4 по модулю 5.
- Количество разделов такие, что соседние части различаются не менее чем на 2, а наименьшая часть не менее 2 совпадает с количеством разделов такая, что каждая часть конгруэнтна 2 или 3 по модулю 5.
В качестве альтернативы,
- Количество разделов так что с частей самая маленькая часть не менее такое же, как количество разделов такая, что каждая часть конгруэнтна 1 или 4 по модулю 5.
- Количество разделов так что с частей самая маленькая часть не менее такое же, как количество разделов такая, что каждая часть конгруэнтна 2 или 3 по модулю 5.
Модульные функции
Если q = e 2πiτ , то q −1/60 G ( q ) и q 11/60 H ( q ) являются модулярными функциями τ.
Приложения
Тождества Роджерса – Рамануджана появились в решении Бакстера модели жесткого шестиугольника в статистической механике.
Непрерывная дробь Рамануджана равна
Связь с аффинными алгебрами Ли и алгебрами вершинных операторов
Джеймс Леповски и Роберт Ли Уилсон были первыми, кто доказал тождества Роджерса – Рамануджана, используя полностью теоретико-представительные методы. Они доказали эти тождества, используя модули уровня 3 для аффинной алгебры Ли. В ходе этого доказательства они изобрели и использовали то, что они назвали-алгебры. Подход Леповски и Вильсона универсален в том смысле, что он может рассматривать все аффинные алгебры Ли на всех уровнях. Его можно использовать для поиска (и подтверждения) идентичности новых разделов. Первый такой пример - это тождество Каппарелли, открытое Стефано Каппарелли с использованием модулей уровня 3 для аффинной алгебры Ли..
Смотрите также
Рекомендации
- Роджерс, LJ; Рамануджан, Шриниваса (1919), «Доказательство определенных тождеств в комбинаторном анализе», Cambr. Фил. Soc. Proc. , 19 : 211–216, Перепечатано как Документ 26 в сборнике статей Рамануджана.
- Роджерс, LJ (1892), "О расширении некоторых бесконечных произведений" , Proc. Лондонская математика. Soc. , 24 (1): 337-352, DOI : 10,1112 / PLMS / s1-24.1.337 , СУЛ 25.0432.01
- Роджерс, LJ (1893), "Второй мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов" , Proc. Лондонская математика. Soc. , 25 (1): 318-343, DOI : 10.1112 / PLMS / s1-25.1.318
- Роджерс, LJ (1894), «Третий мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Soc. , 26 (1): 15-32, DOI : 10.1112 / PLMS / s1-26.1.15
- Schur, Issai (1917), "Ein Beitrag zur addn Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche", Sitzungsberichte der Berliner Akademie : 302–321
- У. Н. Бейли , Обобщенные гипергеометрические ряды , (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, Cambridge University Press, Кембридж.
- Джордж Гаспер и Мизан Рахман, Основные гипергеометрические ряды, 2-е издание , (2004 г.), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 .
- Брюс С. Берндт , Хенг Хуат Чан, Сен-Шан Хуанг, Сун-Йи Канг, Джебом Сон, Сын Хван Сон, Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана , J. Comput. Прил. Математика. 105 (1999), стр. 9–24.
- Силанн Буле, Игорь Пак , Комбинаторное доказательство тождеств Роджерса-Рамануджана и Шура , Журнал комбинаторной теории, сер. А, т. 113 (2006), 1019–1030.
- Слейтер, LJ (1952), "Дальнейшие тождества Роджерса-Рамануджана типа", Труды Лондонского математического общества , Series 2, 54 (2): 147-167, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s2-54.2.147 , ISSN 0024-6115 , Руководство по ремонту 0049225
- Джеймс Леповски, Роберт Л. Уилсон, Построение аффинной алгебры Ли., Comm. Математика. Phys. 62 (1978) 43-53.
- Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Новое семейство алгебр, лежащих в основе тождеств Роджерса-Рамануджана , Proc. Natl. Акад. Sci. USA 78 (1981), 7254-7258.
- Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Структура стандартных модулей, I: Универсальные алгебры и тождества Роджерса-Рамануджана , Инвент. Математика. 77 (1984), 199-290.
- Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Структура стандартных модулей, II: Случай, основная градация , инв. Математика. 79 (1985), 417-442.
- Стефано Каппарелли, Вершинные операторные отношения для аффинных алгебр и комбинаторных тождеств , Диссертация (Ph.D.) - Рутгерс, Государственный университет Нью-Джерси - Нью-Брансуик. 1988. 107 с.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Роджерс-Рамануджан идентичности» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана» . MathWorld .