Парадокс Рассела

Часть серии по
Бертран Рассел
Взгляды на философию Взгляды на общество Парадокс Рассела Чайник Рассела Теория описаний Логический атомизм
v т е

В основах математики , парадокс Рассела (также известный как антиномии Рассела ), обнаружил Бертран Рассел в 1901 год ^{[1] [2]} показал , что некоторые попытки формализации наивной теории множеств , созданный Георг Кантор привела к противоречию . Тот же парадокс был открыт в 1899 году Эрнстом Цермело ^[3], но он не опубликовал идею, которая оставалась известной только Давиду Гильберту , Эдмунду Гуссерлю и другим членам Геттингенского университета.. В конце 1890-х годов Кантор уже осознал, что его определение приведет к противоречию, о чем он письменно сообщил Гильберту и Ричарду Дедекинду . ^[4]

Согласно наивной теории множеств, любой определимый набор является множеством . Пусть R будет множеством всех множеств, которые не являются членами самих себя. Если R не является членом самого себя, то его определение требует, чтобы он содержал себя, а если он содержит себя, то он противоречит своему собственному определению как совокупности всех множеств, которые не являются членами самих себя. Это противоречие - парадокс Рассела. Символически:

${\ displaystyle {\ text {Let}} R = \ {x \ mid x \ not \ in x \} {\ text {, then}} R \ in R \ iff R \ not \ in R}$

В 1908 году были предложены два способа избежать парадокс: Рассела теории типа и теории множеств Цермело . Аксиомы Цермело вышли далеко за пределы аксиом Готлоба Фреге о протяженности и неограниченной абстракции множеств ; как первая построенная аксиоматическая теория множеств , она превратилась в стандартную теорию множеств Цермело – Френкеля (ZFC). Существенное различие между решением Рассела и Цермело парадокса состоит в том, что Цермело изменил аксиомы теории множеств, сохранив логический язык, на котором они выражены, в то время как Рассел изменил сам логический язык. Язык ZFC, с помощью Торальфа Сколема, оказалось логикой первого порядка . ^[5]

Неформальная презентация [ править ]

Большинство часто встречающихся наборов не являются членами самих себя. Например, рассмотрим набор всех квадратов на плоскости . Этот набор сам по себе не является квадратом на плоскости, поэтому он не является членом самого себя. Назовем набор «нормальным», если он не является членом самого себя, и «ненормальным», если он является членом самого себя. Ясно, что каждый набор должен быть либо нормальным, либо ненормальным. Набор квадратов в плоскости нормальный. Напротив, дополнительный набор, содержащий все, что не является квадратом на плоскости, сам по себе не является квадратом на плоскости, поэтому он является одним из его собственных элементов и поэтому является ненормальным.

Теперь мы рассматриваем множество всех нормальных множеств, R , и пытаемся определить, является ли R нормальным или ненормальным. Если бы R был нормальным, он содержался бы в наборе всех нормальных множеств (сам) и, следовательно, был бы ненормальным; с другой стороны, если бы R был ненормальным, он не содержался бы во множестве всех нормальных множеств (сам) и, следовательно, был бы нормальным. Это приводит к выводу, что R не является ни нормальным, ни ненормальным: парадокс Рассела.

Официальное представление [ править ]

Определите наивную теорию множеств (NST) как теорию логики предикатов с бинарным предикатом и следующей схемой аксиом неограниченного понимания :${\ displaystyle \ in}$

${\ Displaystyle \ существует y \ forall x (x \ in y \ iff \ varphi (x))}$

для любой формулы, в которой свободна только переменная x . Подставим для . Затем путем экзистенциальной реализации (повторного использования символа y ) и универсальной реализации мы имеем${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle х \ notin х}$${\ Displaystyle \ varphi (х)}$

${\ displaystyle y \ in y \ iff y \ notin y}$

противоречие. Следовательно, NST несовместим . ^[6]

Теоретико-множественные ответы [ править ]

Согласно принципу взрыва в логике, любое предложение может быть доказано из противоречия. Поэтому наличие противоречий, подобных парадоксу Рассела, в аксиоматической теории множеств катастрофически; поскольку, если какая-либо теорема может быть доказана, она разрушает общепринятый смысл истины и ложности. Кроме того, поскольку теория множеств рассматривалась как основа для аксиоматического развития всех других разделов математики (как это было сделано Расселом и Уайтхедом в « Началах математики» ), парадокс Рассела поставил под угрозу основы математики. Это мотивировало множество исследований на рубеже 20-го века с целью разработки последовательной (свободной от противоречий) теории множеств.

В 1908 году Эрнст Цермело предложил аксиоматизацию теории множеств, которая позволила избежать парадоксов наивной теории множеств, заменив произвольное понимание множеств более слабыми аксиомами существования, такими как его аксиома разделения ( Aussonderung ). Модификации этой аксиоматической теории, предложенные в 1920-х годах Абрахамом Френкелем , Торальфом Сколемом и самим Цермело, привели к появлению аксиоматической теории множеств под названием ZFC . Эта теория стала широко принята раз Цермело аксиома выбора перестала быть спорным, и ZFC остается канонической аксиоматической теории множеств вплоть до наших дней.

ZFC не предполагает, что для каждого свойства существует набор всего, что удовлетворяет этому свойству. Скорее, он утверждает, что для любого множества X существует любое подмножество X, определяемое с использованием логики первого порядка . Обсуждаемый выше объект R не может быть построен таким образом и, следовательно, не является набором ZFC. В некоторых расширениях ZFC такие объекты, как R , называются собственными классами .

ZFC ничего не говорит о типах, хотя в совокупной иерархии есть понятие слоев, которые напоминают типы. Сам Цермело никогда не принимал формулировку ZFC Сколема на языке логики первого порядка. Как отмечает Хосе Феррейрос, Цермело вместо этого настаивал на том, что «пропозициональные функции (условия или предикаты), используемые для отделения от подмножеств, а также функции замены, могут быть« полностью произвольными » [ganz trustbig ]»; современная интерпретация этого утверждения состоит в том, что Цермело хотел включить количественную оценку более высокого порядка , чтобы избежать парадокса Сколема . Примерно в 1930 году Цермело также ввел (очевидно, независимо от фон Неймана) аксиому основанияТаким образом, как отмечает Феррейрос, «запретив« круговые »и« необоснованные »множества, он [ZFC] включил в себя одно из важнейших мотивов ТТ [теории типов] - принцип типов аргументов». Этот ZFC 2-го порядка, предпочитаемый Цермело, включая аксиому основания, позволил создать богатую кумулятивную иерархию. Феррейрос пишет, что «« слои »Цермело по сути такие же, как типы в современных версиях простой TT [теории типов], предложенной Геделем и Тарским. Кумулятивную иерархию, в которой Цермело развивал свои модели, можно описать как вселенную совокупности TT, в котором разрешены трансфинитные типы (после того, как мы приняли импредикативную точку зрения, отказавшись от идеи создания классов, принятие трансфинитных типов не является неестественным).простые TT и ZFC теперь можно рассматривать как системы, которые «говорят» по существу об одних и тех же намеченных объектах. Основное отличие состоит в том, что TT опирается на сильную логику высшего порядка, в то время как Цермело использует логику второго порядка, а ZFC также может иметь формулировку первого порядка. «Описание» кумулятивной иерархии первого порядка намного слабее, как показывает существование счетных моделей (парадокс Сколема), но оно обладает некоторыми важными преимуществами ».как показывает существование счетных моделей (парадокс Сколема), но он обладает некоторыми важными преимуществами ».как показывает существование счетных моделей (парадокс Сколема), но он обладает некоторыми важными преимуществами ».^[7]

В ZFC для данного набора A можно определить набор B, который состоит именно из наборов в A , которые не являются членами самих себя. B не может быть в A по тем же рассуждениям, что и в парадоксе Рассела. Этот вариант парадокса Рассела показывает, что ни один набор не содержит всего.

Благодаря работе Цермело и других, особенно Джона фон Неймана , структура того, что некоторые считают «естественными» объектами, описанными ZFC, в конечном итоге стала ясной; они являются элементами Вселенной фона Неймана , V , построенной вверх от пустого множества с помощью трансфинитно итерации на множество мощности операции. Таким образом , теперь можно снова о причине множеств в не-аксиоматической моды , не вступая в противоречие парадокс Рассела, а именно путем рассуждений об элементах V . Является ли это уместно думать множеств в этом случае является предметом спора среди конкурирующих точек зрения на философию математики .

Другие решения парадокса Рассела, более в духе теории типов , включают аксиоматические теории множеств « Новые основания» и теорию множеств Скотта-Поттера .

История [ править ]

Рассел открыл парадокс в мае ^[8] или июне 1901 года ^[9]. По его собственному отчету в своем « Введении в математическую философию » 1919 года он «попытался обнаружить некоторую ошибку в доказательстве Кантора, что не существует величайшего кардинала». ^[10] В 1902 году письма, ^[11] он объявил об открытии в Фреге парадокса в Фреге 1879 Begriffsschrift и сформулировали проблему с точки зрения логики и теории множеств, и , в частности , с точки зрения определения Фреге функции : ^{[ а] [б]}

Есть только один момент, в котором я столкнулся с трудностью. Вы утверждаете (стр. 17 [стр. 23 выше]), что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я в это верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Можно ж быть предикат себя? Из каждого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что w не является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, которые, взятые как совокупность, не принадлежат самим себе. Из этого я делаю вывод, что при определенных обстоятельствах определяемая коллекция [Менге] не образует целостности.

Рассел продолжит подробное рассмотрение этого вопроса в своих «Основах математики» 1903 года , где он повторил свою первую встречу с парадоксом: ^[12]

Прежде чем отказаться от фундаментальных вопросов, необходимо более подробно изучить уже упомянутое сингулярное противоречие в отношении предикатов, не предсказуемых сами по себе. ... Могу упомянуть, что меня привели к этому, когда я пытался согласовать доказательство Кантора ... "

Рассел написал Фреге о парадоксе, когда Фреге готовил второй том своей Grundgesetze der Arithmetik . ^[13] Фреге очень быстро ответил Расселу; появилось его письмо от 22 июня 1902 г. с комментарием ван Хейенурта в Heijenoort 1967: 126–127. Фреге затем написали приложение , допускающее к парадоксу, ^[14] и предложил решение , которое Рассел одобрит в своих принципах математики , ^[15] , но был позже , по мнению некоторых неудовлетворительные. ^[16] Со своей стороны, Рассел работал в типографии и добавил приложение о доктрине шрифтов . ^[17]

Эрнст Цермело в своем (1908) новом доказательстве возможности хорошего упорядочения (опубликованном в то же время, когда он опубликовал «первую аксиоматическую теорию множеств») ^[18] претендовал на предшествующее открытие антиномии в наивной теории множеств Кантора. . Он заявляет: «И все же, даже элементарная форма, которую Рассел ⁹ придал теоретико-множественным антиномиям, могла бы убедить их [Й. Кениг, Журден, Ф. Бернштейн], что решение этих трудностей не следует искать в капитуляции. упорядоченности, но только в подходящем ограничении понятия множества ». ^{[19] В} сноске 9 он заявляет о своих претензиях:

⁹ 1903 , стр. 366–368. Однако я сам открыл эту антиномию, независимо от Рассела, и передал ее до 1903 года профессору Гильберту среди других . ^[20]

Фреге послал копию своей « Grundgesetze der Arithmetik» Гильберту; как отмечалось выше, в последнем томе Фреге упоминался парадокс, о котором Рассел сообщил Фреге. Получив последний том Фреге 7 ноября 1903 года, Гильберт написал Фреге письмо, в котором сказал, ссылаясь на парадокс Рассела: «Я полагаю, что доктор Цермело открыл его три или четыре года назад». Письменное изложение фактического аргумента Цермел было обнаружено в Наследстве от Эдмунда Гуссерля . ^[21]

В 1923 году Людвиг Витгенштейн предложил «избавиться» от парадокса Рассела следующим образом:

Причина, по которой функция не может быть собственным аргументом, заключается в том, что знак функции уже содержит прототип ее аргумента и не может содержать самого себя. Ведь предположим, что функция F (fx) может быть собственным аргументом: в этом случае будет предложение F (F (fx)) , в котором внешняя функция F и внутренняя функция F должны иметь разные значения, поскольку внутренний имеет вид O (fx), а внешний - вид Y (O (fx)) . Только буква «F» является общей для этих двух функций, но сама по себе буква ничего не означает. Это сразу становится ясно, если вместо F (Fu) написать (do): F (Ou). Оу = Фу. Это избавляет от парадокса Рассела. ( Логико-философский трактат, 3.333)

Рассел и Альфред Норт Уайтхед написали свои трехтомные « Основы математики», надеясь достичь того, чего не смог сделать Фреге. Они стремились устранить парадоксы наивной теории множеств , используя для этой цели теорию типов, которую они разработали. Хотя им удалось в некотором роде обосновать арифметику, совсем не очевидно, что они сделали это чисто логическими средствами. Хотя Principia Mathematica избегает известных парадоксов и позволяет вывести большую часть математики, ее система порождает новые проблемы.

В любом случае Курт Гёдель в 1930–1931 годах доказал, что хотя логика большей части Principia Mathematica , ныне известной как логика первого порядка , является законченной , арифметика Пеано обязательно неполна, если она непротиворечива . Это очень широко - хотя и не повсеместно - рассматривается как доказательство невозможности завершения логицистской программы Фреге.

В 2001 году в Мюнхене прошла столетняя международная конференция, посвященная первой сотне лет парадокса Рассела, и ее труды были опубликованы. ^[9]

Примененные версии [ править ]

Есть несколько версий этого парадокса, которые ближе к реальным ситуациям и могут быть более понятны нелогикам. Например, парадокс парикмахера предполагает, что парикмахер бреет всех мужчин, которые не бреются, и только мужчин, которые не бреются. Когда думаешь о том, должен ли парикмахер бриться или нет, начинает вырисовываться парадокс.

В качестве другого примера рассмотрим пять списков статей энциклопедии в одной энциклопедии:

Если «Список всех списков, не содержащих себя», содержит сам себя, значит, он не принадлежит самому себе и должен быть удален. Однако, если он не указан в списке, его следует добавить к самому себе.

У этих непрофессиональных версий парадокса есть один привлекательный недостаток: легкое опровержение парадокса парикмахера состоит в том, что такого парикмахера не существует или у парикмахера алопеция, и поэтому он не бреется. Весь смысл парадокса Рассела состоит в том, что ответ «такого множества не существует» означает, что определение понятия множества в рамках данной теории неудовлетворительно. Обратите внимание на разницу между утверждениями «такой набор не существует» и «это пустой набор ». Это похоже на разницу между словами: «Ведра нет» и «Ведро пусто».

Заметным исключением из вышесказанного может быть парадокс Греллинга – Нельсона , в котором слова и значение являются элементами сценария, а не люди и стрижка. Хотя парадокс парикмахера легко опровергнуть, сказав, что такого парикмахера не существует (и не может ) существовать, невозможно сказать что-то подобное о значимом определенном слове.

Один из способов драматизации парадокса заключается в следующем:

Предположим, что каждая публичная библиотека должна составить каталог всех своих книг. Поскольку каталог сам по себе является одной из библиотечных книг, некоторые библиотекари включают его в каталог для полноты; в то время как другие не учитывают, что это одна из книг библиотеки, само собой разумеющееся.

А теперь представьте, что все эти каталоги отправлены в национальную библиотеку. Некоторые из них включают себя в свои списки, другие - нет. Национальный библиотекарь составляет два главных каталога - один из всех каталогов, в которых перечислены сами себя, и один из тех, в которых его нет.

Возникает вопрос: должны ли эти главные каталоги указывать сами себя? «Каталог всех каталогов, в которых перечислены сами себя» - это не проблема. Если библиотекарь не включает его в свой собственный список, он остается настоящим каталогом тех каталогов, которые включают самих себя. Если библиотекарь действительно включает его, он остается настоящим каталогом тех, кто перечисляет себя.

Однако точно так же, как библиотекарь не может ошибиться с первым главным каталогом, библиотекарь обречен на неудачу со вторым. Когда дело доходит до `` Каталога всех каталогов, которые не перечисляют сами себя '', библиотекарь не может включить его в свой собственный список, потому что тогда он включит себя и, следовательно, принадлежит другому каталогу, каталогам, которые включают себя . Однако, если библиотекарь не учитывает его, каталог будет неполным. В любом случае, это никогда не может быть настоящий главный каталог каталогов, которые не перечисляют сами себя.

Приложения и связанные темы [ править ]

Расселоподобные парадоксы [ править ]

Как показано выше для парадокса парикмахера, парадокс Рассела нетрудно расширить. Брать:

• Переходный глагол <V>, который может быть применен к своей основной форме.

Сформируйте предложение:

<V> эээээээ <V> - это все (и только те), кто не <V> сам,

Иногда «все» заменяется «все <V> ers».

Примером может быть «краска»:

Краска эр , что краска все , (и только те) , которые не рисуют сами.

или "избрать"

Избранный или ( представитель ), что избранник все , что не выбирают сами.

Парадоксы, которые попадают в эту схему, включают:

• Парикмахер с «бритьем» .
• Оригинальный парадокс Рассела с «содержать»: контейнер (набор), который содержит все (контейнеры), которые не содержат самих себя.
• Греллинг-Нельсон парадокс с «описателем»: описатель (слово) , который описывает все слова, которые не описывают себя.
• Парадокс Ричарда с «обозначать»: обозначение (число), которое обозначает все обозначения (числа), которые не обозначают сами себя. (В этом парадоксе всем описаниям чисел присваивается присвоенное число. Термин «обозначающий все обозначающие (числа), не обозначающие самих себя» здесь называется Ричардом .)
• «Я лгу.», А именно лжец парадокс и Эпименид парадокс , чье происхождение древние
• Парадокс Рассела-Майхилла

Связанные парадоксы [ править ]

• Burali-Форти парадокс , о типе заказа всех хорошо порядков
• Клини-Rosser парадокс , показывая , что оригинальный лямбда - исчисление противоречиво, с помощью автонормированной отрицая заявление
• Парадокс Карри (названный в честь Хаскелла Карри ), не требующий отрицания
• Самый маленький неинтересный целочисленный парадокс
• Парадокс Жирара в теории типов

См. Также [ править ]

• Основной закон V
• Диагональный аргумент Кантора
• Первая проблема Гильберта
• « Об обозначении »
• Парадокс Куайна
• Самостоятельная ссылка
• Странная петля
• Универсальный набор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиверситете есть ресурсы для изучения парадокса Рассела

• «Парадокс Рассела» . Интернет-энциклопедия философии .
• Ирвин, Эндрю Дэвид (2016). «Парадокс Рассела» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Вайсштейн, Эрик В. «Антиномия Рассела» . MathWorld .
• Рассел Paradox в Cut-на-Knot