В математике , в области теории алгебраических чисел , S -Unit обобщает идею единицы в кольце целых чисел поля. Многие из результатов, которые справедливы для единиц, также действительны для S- единиц.
Определение
Пусть К быть числом поле с кольцом целых чисел R . Пусть S конечное множество простых идеалов R . Элемент x из K является S -единицей, если главный дробный идеал ( x ) является произведением простых чисел в S (в положительные или отрицательные степени). Для кольца рациональных чисел Z можно взять S , чтобы конечное множество простых чисел и определить S -Unit быть рациональным числом, числитель и знаменатель делится только на простые числа в S .
Характеристики
В S -единицы образуют мультипликативную группу , содержащую единицы R .
Теорема Дирихле о единице верна для S -единиц: группа S -единиц конечно порождена, с рангом (максимальным числом мультипликативно независимых элементов), равным r + s , где r - ранг единичной группы, а s = | S |,
Уравнение S-единицы
Уравнение S -единицы является диофантовым уравнением
- и + v = 1
с U , V ограничено , чтобы быть S -единиц из K . Число решений этого уравнения конечно [ необходима цитата ], и решения эффективно определяются с использованием оценок линейных форм в логарифмах, разработанных в теории трансцендентных чисел . Множество диофантовых уравнений в принципе сводятся к некоторой форме уравнения S -единицы: ярким примером является теорема Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и, в более общем смысле, суперэллиптических кривых вида y n = f (x) .
Вычислительный решатель для уравнения S-единицы доступен в программном обеспечении SageMath . [1]
Рекомендации
- ^ "Решите уравнение S-единицы x + y = 1 - Справочное руководство Sage v8.7: Алгебраические числа и числовые поля" . doc.sagemath.org . Проверено 16 апреля 2019 .
- Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. 104 . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . С. 19–22. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- Ланг, Серж (1978). Эллиптические кривые: диофантов анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 231 . Springer-Verlag . С. 128–153. ISBN 3-540-08489-4.
- Ланг, Серж (1986). Алгебраическая теория чисел . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4.Глава. В.
- Умный, Найджел (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты студентов Лондонского математического общества. 41 . Издательство Кембриджского университета . Глава. 9 . ISBN 0-521-64156-X.
- Нойкирх, Юрген (1986). Теория поля классов . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 280 . Springer-Verlag . С. 72–73. ISBN 3-540-15251-2.
дальнейшее чтение
- Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88268-2.
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .