Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике рассеянное пространство - это топологическое пространство X , не содержащее непустого, плотного в себе подмножества. [1] [2] Эквивалентно, каждое непустое подмножество из X содержит точку изолирована в A .

Подмножество топологического пространства называется рассеянным множеством, если это рассеянное пространство с топологией подпространства .

Примеры [ править ]

  • Каждое дискретное пространство разбросано.
  • Все порядковые номера с порядковой топологией разбросаны. Действительно, каждое непустое подмножество содержит минимальный элемент, и этот элемент выделен в A .
  • Рассеивается пространство X с определенной точечной топологией , в частности пространство Серпинского . Это пример рассеянного пространства, которое не является пространством T 1 .
  • Замыкание разрозненного множества не обязательно разрозненно. Например, на евклидовой плоскости возьмем счетно бесконечное дискретное множество A в единичном круге, причем точки становятся все плотнее и плотнее по мере приближения к границе. Например, возьмем объединение вершин серии n-угольников с центрами в начале координат, причем радиус все ближе и ближе к 1. Тогда замыкание A будет содержать всю окружность радиуса 1, которая плотна в- сам.

Свойства [ править ]

  • В топологическом пространстве X замыкание плотного в себе подмножества является совершенным множеством. Итак, X разбросан тогда и только тогда, когда он не содержит непустого совершенного множества.
  • Каждое подмножество разбросанного пространства разбросано. Разбросанность - это наследственное свойство .
  • Каждое рассеянное пространство X является пространством T 0 . ( Доказательство: даны две различные точки x , y в X , по крайней мере одна из них, скажем x , будет изолирована в . Это означает, что существует окрестность x в X , которая не содержит y .)
  • В пространстве T 0 разбросано объединение двух разбросанных множеств. [3] [4] Обратите внимание, что здесь необходимо предположение T 0 . Например, если с недискретной топологией , и оба разбросаны, но их объединение ,, не разбросано, так как не имеет изолированной точки.
  • Каждое рассеянное пространство T 1 полностью отключено .
( Доказательство: если C - непустое связное подмножество X , оно содержит точку x, изолированную в C. Таким образом, синглтон открыт в C (поскольку x изолирован) и замкнут в C (из-за свойства T 1 ). Поскольку C связан, он должен быть равен . Это показывает, что каждый компонент связности X имеет одну точку.)
  • Каждая секунда счетного разбросанного пространства является счетным . [5]
  • Каждое топологическое пространство X может быть записано уникальным образом как несвязное объединение совершенного множества и рассеянного множества. [6] [7]
  • Каждое второе счетное пространство X уникальным образом можно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетного рассеянного открытого множества.
( Доказательство: используйте совершенное + разбросанное разложение и приведенный выше факт о втором счетном рассеянном пространстве, а также тот факт, что подмножество второго счетного пространства является вторым счетным пространством.)
Кроме того, каждое замкнутое подмножество второго счетного X может быть записано однозначно как дизъюнктное объединение совершенного подмножества X и счетного рассеянного подмножества X . [8] Это справедливо, в частности, для любого польского пространства , что является содержанием теоремы Кантора – Бендиксона .

Заметки [ править ]

  1. ^ Стин и Зеебах, стр. 33
  2. ^ Энгелькинг, стр. 59
  3. ^ См. Предложение 2.8 в Аль-Хаджри, Монера; Белаид, Карим; Белаид, Ламия Джаафар (2016). «Рассеянные пространства, компактификации и приложение к проблеме классификации изображений» . Математические публикации в Татрах . 66 : 1–12. DOI : 10.1515 / tmmp-2016-0015 . S2CID  199470332 .
  4. ^ https://math.stackexchange.com/questions/3854864
  5. ^ https://math.stackexchange.com/questions/376116
  6. ^ Уиллард, проблема 30E, стр. 219
  7. ^ https://math.stackexchange.com/questions/3856152
  8. ^ https://math.stackexchange.com/questions/742025

Ссылки [ править ]

  • Энгелькинг, Рышард, Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
  • Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Руководство по ремонту  0507446 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Dover 1970 года), Addison-Wesley CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )