В математике , А самоподобная объект точно или приблизительно похож на часть самого по себе (то есть, в целом имеет ту же форму, что и один или более части). Многие объекты в реальном мире, например береговые линии , статистически самоподобны: их части демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. [2] Самоподобие - типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность - это точная форма самоподобия, когда при любом увеличении есть меньшая часть объекта, похожая на целое. Например, у снежинки Коха обе стороны симметричны.и масштабно-инвариантный; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, очевидное во фракталах, отличается их тонкой структурой или деталями на сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.
Говорят, что явление развития во времени проявляет самоподобие, если численное значение некоторой наблюдаемой величины, измеренной в разное время, отличается, но соответствующая безразмерная величина при данном значении остается неизменной. Это происходит, если величина демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является просто продолжением идеи подобия двух треугольников. [3] [4] [5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различаются, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают.
Peitgen et al. объясните концепцию как таковую:
Если части фигуры являются небольшими копиями целого, тогда фигура называется самоподобной ... Фигура является строго самоподобной, если фигура может быть разложена на части, которые являются точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. [6]
Поскольку математически фрактал может показывать самоподобие при неопределенном увеличении, физически воссоздать это невозможно. Peitgen et al. предлагаем изучить самоподобие с помощью приближений:
Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы обязательно ограничены рассмотрением конечных приближений к предельной фигуре. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробчатым самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров. [7]
Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году [8].
Самостоятельность [ править ]
В математике , самоаффинность является особенностью фрактальной которой кусочки масштабируются различными количествами в й и у направлений. Это означает, что чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .
Определение [ править ]
Компактное топологическое пространство X автомодельно , если существует конечное множество S индексации множества не- сюръективных гомеоморфизмов , для которых
Если мы называем X самоподобным , если она является единственным непустым подмножеством из Y такое , что приведенные выше уравнение справедливо для . Мы называем
самоподобная структура . Гомеоморфизмы могут повторяться , что приводит к повторной системе функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно представить как бесконечное двоичное дерево ; в более общем случае, если множество S имеет p элементов, то моноид может быть представлен как p-адическое дерево.
В автоморфизмах диадического моноида является модульной группой ; автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения двоичного дерева.
Более общее понятие , чем самоподобие самоаффинность .
Примеры [ править ]
Множество Мандельброта также самоподобная вокруг точек Мисюревича .
Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет самоподобные свойства. Например, в телетрафике инженерии , с коммутацией пакетов шаблонов трафика данных , как представляются, статистически самоподобными. [9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона , неточны, а сети, спроектированные без учета самоподобия, могут работать неожиданным образом.
Точно так же движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , то есть они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. [10] Эндрю Ло описывает самоподобие доходности журнала фондового рынка в эконометрике . [11]
Правила конечного деления - это мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .
В кибернетике [ править ]
Жизнеспособная модель системы из Stafford Beer представляет собой организационная модель с аффинным автомодельной иерархией, где данная жизнеспособная системой является одним из элементов системы Одной из жизнеспособной системы один рекурсивного уровня выше, и для которых элементы его система One являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже.
В природе [ править ]
Самоподобие можно найти и в природе. Справа - математически созданное, совершенно самоподобное изображение папоротника , которое очень похоже на натуральный папоротник. Другие растения, такие как брокколи Романеско , демонстрируют сильное самоподобие.
В музыке [ править ]
- Строгие каноны демонстрируют различные типы и степени самоподобия, как и отрывки фуг .
- Шепарда тон автомодельно в частоты или длины волны доменов.
- Датский композитор Пер Нёргор сделал использование автомодельной целочисленной последовательности назвали «бесконечность серии» в большей части его музыки.
- В области поиска музыкальной информации самоподобие обычно относится к тому факту, что музыка часто состоит из частей, которые повторяются во времени. [12] Другими словами, музыка самоподобна при временном преобразовании, а не при масштабировании (или в дополнение к нему). [13]
См. Также [ править ]
- Эффект Дросте
- Золотое сечение
- Дальняя зависимость
- Необоснованная теория множеств
- Рекурсия
- Самостоятельная непохожесть
- Самостоятельная ссылка
- Самовоспроизведение
- Самоподобие анализа сетевых данных
- Терагон
- Мозаика
- Распределения твиди
- Закон Ципфа
- Фрактал
Ссылки [ править ]
- ^ Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы , с.44. ISBN 978-0716711865 .
- ↑ Мандельброт, Бенуа Б. (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробное измерение» . Наука . Новая серия. 156 (3775): 636–638. Bibcode : 1967Sci ... 156..636M . DOI : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 . PDF
- Перейти ↑ Hassan MK, Hassan MZ, Pavel NI (2011). «Динамическое масштабирование, коллапс данных и самоподобие в сетях Барабаши-Альберта». J. Phys. A: Математика. Теор . 44 (17): 175101. arXiv : 1101.4730 . Bibcode : 2011JPhA ... 44q5101K . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 44/17/175101 . S2CID 15700641 . CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Перейти ↑ Hassan MK, Hassan MZ (2009). «Возникновение фрактального поведения в конденсационной агрегации». Phys. Rev. E . 79 (2): 021406. arXiv : 0901.2761 . Bibcode : 2009PhRvE..79b1406H . DOI : 10.1103 / physreve.79.021406 . PMID 19391746 . S2CID 26023004 .
- ^ Dayeen FR, Hassan MK (2016). «Мульти-мультифрактальность, динамическое масштабирование и статистика соседства в взвешенной планарной стохастической решетке». Хаос, солитоны и фракталы . 91 : 228. arXiv : 1409.7928 . Bibcode : 2016CSF .... 91..228D . DOI : 10.1016 / j.chaos.2016.06.006 .
- ^ Пайтген, Хайнц-Отто; Юргенс, Хартмут; Саупе, Дитмар; Малецкий, Эван; Perciante, Терри; и Юнкер, Ли (1991). Фракталы для класса: стратегические действия Том первый , стр.21. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97346-X и ISBN 3-540-97346-X .
- ^ Peitgen,др (1991), p.2-3.
- ^ Комментарий j'ai découvert les фракталы, Интервью де Бенуа Мандельбро, La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3 % A9кувер-ле-фракталь-% C2% BB
- ^ Леланд, МЫ; Taqqu, MS; и другие. (Январь 1995 г.). «О самоподобности Ethernet-трафика (расширенная версия)» (PDF) . Транзакции IEEE / ACM в сети . 2 (1): 1–15. DOI : 10.1109 / 90.282603 . S2CID 6011907 .
- ↑ Бенуа Мандельброт (февраль 1999 г.). «Как фракталы могут объяснить, что не так с Уолл-стрит» . Scientific American .
- ^ Campbell, Lo и Маккинли (1991) " Эконометрика финансовых рынков", Princeton University Press! ISBN 978-0691043012
- ↑ Фут, Джонатан (30 октября 1999 г.). «Визуализация музыки и звука с использованием самоподобия». Материалы седьмой международной конференции ACM по мультимедиа (Часть 1) - MULTIMEDIA '99 (PDF) . Мультимедиа '99 Материалы седьмой Международной конференции ACM по мультимедиа (Часть 1) . С. 77–80. CiteSeerX 10.1.1.223.194 . DOI : 10.1145 / 319463.319472 . ISBN 978-1581131512. S2CID 3329298 . Архивировано 9 августа 2017 года (PDF) .
- ^ Pareyon, Габриэль (апрель 2011). О музыкальном самоподобии: интерсемиоз как синекдоха и аналогия (PDF) . Международный институт семиотики в Иматре; Семиотическое общество Финляндии. п. 240. ISBN 978-952-5431-32-2. Архивировано из оригинального (PDF) 8 февраля 2017 года . Проверено 30 июля 2018 года .(См. Также Google Книги )
Внешние ссылки [ править ]
- "Медные шевроны" - самоподобный фрактальный фильм с увеличением.
- «Самоподобие» - Новые статьи о самоподобии. Алгоритм вальса
Самостоятельность [ править ]
- Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самоаффинность и фрактальная размерность» (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Bibcode : 1985PhyS ... 32..257M . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 32/4/001 .
- Сапожников Виктор; Фуфула-Георгиу, Эфи (май 1996 г.). «Самообслуживание в плетеных реках» (PDF) . Исследование водных ресурсов . 32 (5): 1429–1439. DOI : 10.1029 / 96wr00490 . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2018 года . Проверено 30 июля 2018 года .
- Бенуа Б. Мандельброт (2002). Gaussian самоаффинность и фрактал: Глобальность, Земля, 1 / F шум, и R / S . ISBN 978-0387989938.
