Самоподобие
В математике самоподобный объект точно или приблизительно подобен части самого себя (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты реального мира, такие как береговые линии , статистически самоподобны: их части демонстрируют одни и те же статистические свойства во многих масштабах. [2] Самоподобие — типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность — это точная форма самоподобия, когда при любом увеличении существует меньшая часть объекта, подобная целому. Например, сторона снежинки Коха симметрична .и масштабно-инвариантный; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, очевидное во фракталах, отличается их тонкой структурой или детализацией в сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.
Говорят, что явление, развивающееся во времени, проявляет самоподобие, если числовые значения некоторой наблюдаемой величины , измеренные в разные моменты времени, различны, но соответствующая безразмерная величина при данном значении остается неизменной. Это происходит, если количество демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является лишь расширением идеи подобия двух треугольников. [3] [4] [5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают.
Если части фигуры являются малыми копиями целого, то фигура называется самоподобной ... Фигура строго самоподобна, если ее можно разложить на части, являющиеся точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. [6]
Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неопределенном увеличении, физически это невозможно воссоздать. Пейтген и др. предлагают изучать самоподобие с помощью приближений:
Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы неизбежно ограничиваемся рассмотрением конечных приближений предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы будем называть блочным самоподобием, когда измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров. [7]
В математике самоаффинность — это характеристика фрактала , части которого масштабируются по-разному в направлениях x и y. Это означает, что для оценки самоподобия этих фрактальных объектов их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .
