Метрика (математика)

В математике метрика или функция расстояния — это функция , которая дает расстояние между каждой парой точечных элементов множества . Множество с метрикой называется метрическим пространством . ^[1] Метрика индуцирует топологию на множестве, но не все топологии могут быть порождены метрикой. Топологическое пространство , топология которого может быть описана метрикой, называется метризуемым .

Одним из важных источников метрик в дифференциальной геометрии являются метрические тензоры , билинейные формы , которые могут быть определены из касательных векторов дифференцируемого многообразия на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых путем интегрирования и, таким образом, определяет метрику.

так что для всех выполняются следующие три аксиомы:${\ Displaystyle х, у, г \ в Х}$

Метрика (как определено) — это неотрицательная функция с действительным знаком. Это, вместе с аксиомой 1, обеспечивает условие разделения , где отдельными или отдельными точками являются именно те, расстояние между которыми положительное.

Метрика называется ультраметрикой , если она удовлетворяет следующей усиленной версии неравенства треугольника для всех :${\ Displaystyle х, у, г \ в Х}$

Метрика на называется внутренней , если для всех и любой длины существует кривая длины меньше той , которая соединяет и .${\ Displaystyle д}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle х, у \ в X}$${\ Displaystyle L> д (х, у)}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle у}$

Иллюстрация, сравнивающая метрику такси с евклидовой метрикой на плоскости: согласно метрике такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12). Согласно евклидовой метрике, зеленый путь имеет длину и является единственным кратчайшим путем.${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ приблизительно 8,49}$