Локализация подкатегории

В математике, Серра и локализующие подкатегории образуют важные классы подкатегорий в качестве абелевой категории . Подкатегории локализации - это определенные подкатегории Серра. Они прочно связаны с понятием факторной категории .

Подкатегории Серра [ править ]

Позвольте быть абелевой категории . Непустая полная подкатегория называется подкатегорией Серра (или также плотной подкатегорией ), если для каждой короткой точной последовательности в объекте находится в тогда и только тогда, когда объекты и принадлежат . На словах: закрывается по подобъектам, частным объектам и расширениям. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle 0 \ rightarrow A '\ rightarrow A \ rightarrow A' '\ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle A '}$ ${\ displaystyle A ''}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Важность этого понятия проистекает из того факта, что ядра точных функторов между абелевыми категориями обладают этим свойством и что можно построить (для локально малых ) фактор-категорию (в смысле Габриэля , Гротендика , Серра ) , которая имеет то же объектов as , является абелевым и поставляется с точным функтором (называемым фактор-функтором) , ядро которого равно . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle T \ двоеточие {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Локализация подкатегорий [ править ]

Пусть будет локально малым. Подкатегория Серра называется локализующей , если фактор-функтор имеет правый сопряженный элемент . С тех пор , как левый сопряженный, сохраняет копределы , каждая локализующая подкатегория замкнута относительно копределов. Функтор (или иногда ) также называют локализации функтор , и в раздел функтор . Функтор сечения точен слева и полностью точен . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle T \ двоеточие {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle S \ двоеточие {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle ST}$ ${\ displaystyle S}$

Если абелева категория , кроме того, коколонна и имеет инъективные оболочки (например, если это категория Гротендика ), то подкатегория Серра является локализуемой тогда и только тогда, когда она замкнута относительно произвольных копроизведений (так называемых прямых сумм). Следовательно, понятие локализующей подкатегории эквивалентно понятию наследственного крутильного класса . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Если это категория Гротендика и локализующая подкатегория, то фактор-категория снова является категорией Гротендика. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}}$

Из теоремы Габриэля-Попеску следует, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией модульной категории (с подходящим кольцом ) по модулю локализующей подкатегории. $\operatorname {Mod} (R)$ $R$

См. Также [ править ]

Подкатегория Жиро

Ссылки [ править ]

Николае Попеску ; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Academic Press, Inc .; из печати.