Теорема Егорова
В теории меры , области математики , теорема Егорова устанавливает условие равномерной сходимости поточечно сходящейся последовательности измеримых функций . Ее также называют теоремой Северини-Егорова или теоремой Северини-Егорова в честь Карло Северини , итальянского математика , и Дмитрия Егорова , русского физика и геометра , опубликовавших независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 годах.
Теорему Егорова можно использовать вместе с непрерывными функциями с компактным носителем для доказательства теоремы Лусина для интегрируемых функций .
Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 году: [1] [2] он использовал результат как инструмент в своих исследованиях рядов ортогональных функций . Его работа осталась, по-видимому, незамеченной за пределами Италии , вероятно, из-за того, что она написана на итальянском языке , появилась в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась только как средство для получения других теорем. Через год Дмитрий Егоров опубликовал свои независимо доказанные результаты [3] .и теорема стала широко известна под его именем: однако нередко можно найти ссылки на эту теорему как на теорему Северини – Егорова. Первыми математиками, независимо доказавшими теорему в общепринятом в настоящее время абстрактном пространстве с мерой , были Фригьес Рисс ( 1922 , 1928 ) и Вацлав Серпинский ( 1928 ): [4] более раннее обобщение принадлежит Николаю Лузину , которому удалось немного ослабить требование конечности меры области сходимости поточечно сходящихся функций в обширной статье ( Лузин, 1916 ).[5] Дальнейшие обобщения были даны намного позже Павлом Коровкиным в статье ( Коровкин 1947 ) и Габриэлем Мокободзки в статье ( Мокободзки 1970 ).
Пусть ( fn ) — последовательность M - значных измеримых функций, где M — сепарабельное метрическое пространство, на некотором пространстве с мерой ( X ,Σ,µ), и пусть существует измеримое подмножество A ⊆ X с конечным µ- мера, такая, что ( f n ) сходится µ- почти всюду на A к предельной функции f . Справедлив следующий результат: для любого ε > 0 существует измеримое подмножество B множества A такое, что µ( B ) < ε и ( f n) сходится к f равномерно на A \ B .
Здесь µ( B ) обозначает µ-меру B . Другими словами, теорема утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на A влечет, по-видимому, гораздо более сильную равномерную сходимость везде, кроме некоторого подмножества B сколь угодно малой меры. Этот тип сходимости также называют почти равномерной сходимостью .
Исправить . Для натуральных чисел n и k определим множество E n, k объединением
