Лемма Шепарда - главный результат микроэкономики, имеющий приложения в теории фирмы и в выборе потребителей . [1] В лемме утверждает , что если кривые безразличие расходного или функцию затрат являются выпуклыми , то стоимость минимизируя точку данного товара () с ценой уникален. Идея состоит в том, что потребитель будет покупать уникальное идеальное количество каждого предмета, чтобы минимизировать цену для получения определенного уровня полезности с учетом рыночной цены товаров .
Лемма названа в честь Рональда Шепарда, который дал доказательство с использованием формулы расстояния в своей книге « Теория затрат и производственных функций» (Princeton University Press, 1953). Эквивалентный результат в контексте теории потребителей был впервые получен Лайонелом В. Маккензи в 1957 г. [2]. В нем говорится, что частные производные функции расходов по ценам товаров равны функциям спроса Хикса на соответствующие товары. Подобные результаты уже были получены Джоном Хиксом (1939) и Полом Самуэльсоном (1947).
Определение
В теории потребителей лемма Шепарда утверждает, что спрос на конкретный товар для заданного уровня полезности и с учетом цен , равняется производной функции затрат по цене соответствующего товара:
где является Хикса спроса на благо, - функция расходов , и обе функции выражаются в ценах ( вектор ) и полезность .
Точно так же в теории фирмы лемма дает аналогичную формулировку для условного спроса на факторы для каждого входного фактора: производная функции затрат по цене фактора:
где это условный фактор спроса на вводимые ресурсы, - функция затрат, и обе функции выражаются в ценах факторов производства ( вектор ) и вывод .
Хотя в первоначальном доказательстве Шепарда использовалась формула расстояния, современные доказательства леммы Шепарда используют теорему об огибающей . [3]
Доказательство дифференцируемого случая.
Доказательство приведено для случая с двумя хорошими условиями для простоты обозначений. Расходная функция - функция цены задачи оптимизации с ограничениями, характеризуемая следующим лагранжианом:
По теореме о конверте производные функции цены по параметру находятся:
где является минимизатором (т. е. функцией спроса Хикса на товар 1). Это завершает доказательство.
Заявление
Лемма Шепарда устанавливает связь между функциями затрат (или затрат) и спросом Хикса. Лемму можно переформулировать как тождество Роя , которое устанавливает связь между косвенной функцией полезности и соответствующей маршаллианской функцией спроса .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. С. 74–75. ISBN 0-393-95735-7.
- ^ Маккензи, Лайонел (1957). «Теория спроса без индекса полезности». Обзор экономических исследований . 24 (3): 185–189. JSTOR 2296067 .
- ^ Зильберберг, Юджин (1978). Структура экономики . Макгроу-Хилл. С. 199-200 . ISBN 0-07-057453-7.
дальнейшее чтение
- Бивис, Брайан; Доббс, Ян М. (1990). «Введение в теорию двойственности» . Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 117–133. ISBN 0-521-33605-8.