Проблема с числовым знаком

В прикладной математике , то числовая проблема знак проблема численно вычислив интеграл от сильно осциллирующей функции большого числа переменных. Численные методы терпят неудачу из-за почти полного исключения положительного и отрицательного вкладов в интеграл. Каждый из них должен быть интегрирован с очень высокой точностью, чтобы их различие было получено с полезной точностью .

Проблема знака - одна из основных нерешенных проблем физики систем многих частиц . Он часто возникает при расчетах свойств квантово-механической системы с большим числом сильно взаимодействующих фермионов или в теориях поля, включающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов.

Обзор [ править ]

В физике проблема знака обычно (но не исключительно) встречается при расчетах свойств квантово-механической системы с большим числом сильно взаимодействующих фермионов или в теориях поля, включающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов. Поскольку частицы сильно взаимодействуют, теория возмущений неприменима, и каждый вынужден использовать численные методы грубой силы. Поскольку частицы являются фермионами, их волновая функция меняет знак, когда любые два фермиона меняются местами (из-за антисимметрии волновой функции, см. Принцип Паули). Таким образом, если нет сокращений, возникающих из-за некоторой симметрии системы, квантово-механическая сумма по всем многочастичным состояниям включает интеграл по функции, которая является сильно колеблющейся, поэтому ее трудно вычислить численно, особенно в высокой размерности. Поскольку размерность интеграла определяется числом частиц, проблема знака становится серьезной в термодинамическом пределе . Теоретико-полевое проявление проблемы знака обсуждается ниже.

Проблема знака - одна из основных нерешенных проблем в физике систем многих частиц, препятствующая прогрессу во многих областях:

• Физика конденсированного состояния - препятствует численному решению систем с высокой плотностью сильно коррелированных электронов, таких как модель Хаббарда . ^[1]
• Ядерная физика - это предотвращает первопринципных расчета свойств ядерной материи и , следовательно , ограничивает наше понимание ядер и нейтронных звезд .
• Квантовая теория поля - препятствует использованию решеточной КХД ^[2] для предсказания фаз и свойств кварковой материи . ^[3] (В теории поля на решетке эта проблема также известна как проблема комплексного действия .) ^[4]

Проблема знака в теории поля [ править ]

^[a] В подходе теории поля к многочастичным системам плотность фермионов контролируется значением химического потенциала фермионов. Статистическая сумма оцениваетсяпутем суммирования по всем классическим конфигурациям полей, взвешенных по тому,где- действие конфигурации. Суммирование по фермионным полям может быть выполнено аналитически, и остается сумма по бозонным полям(которые, возможно, изначально были частью теории или были созданы преобразованием Хаббарда – Стратоновича, чтобы сделать действие фермионов квадратичным)${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ ехр (-S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle Z = \ int D \ sigma \; \ rho [\ sigma]}$

где представляет собой меру суммы по всем конфигурациям бозонных полей, взвешенную как${\ displaystyle D \ sigma}$${\ Displaystyle \ sigma (х)}$

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ])}$

где теперь действие бозонных полей, а - матрица, которая кодирует, как фермионы были связаны с бозонами. Таким образом, математическое ожидание наблюдаемой является средним по всем конфигурациям, взвешенным по${\displaystyle S}$${\displaystyle M(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle A[\sigma ]}$${\displaystyle \rho [\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \;A[\sigma ]\;\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \;\rho [\sigma ]}}.}$

Если положительно, то это можно интерпретировать как вероятностную меру и рассчитать путем численного суммирования по конфигурациям полей с использованием стандартных методов, таких как выборка важности Монте-Карло .${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }}$

Проблема со знаком возникает, когда не положительно. Это обычно происходит в теориях фермионов, когда химический потенциал фермионов отличен от нуля, т.е. когда имеется ненулевая фоновая плотность фермионов. Если нет симметрии частица-античастица и , следовательно, вес , как правило, является комплексным числом, то выборка важности Монте-Карло не может использоваться для оценки интеграла.${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \neq 0}$${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$${\displaystyle \rho (\sigma )}$

Процедура повторного взвешивания [ править ]

Теорию поля с неположительным весом можно преобразовать в теорию с положительным весом, включив неположительную часть (знак или комплексную фазу) веса в наблюдаемое. Например, можно разложить весовую функцию на ее модуль и фазу,

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ])}$

где реально и положительно, так что${\displaystyle p[\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}}$

Обратите внимание, что желаемое математическое ожидание теперь является соотношением, в котором числитель и знаменатель являются ожидаемыми значениями, оба используют положительную весовую функцию . Однако фаза является сильно колеблющейся функцией в конфигурационном пространстве, поэтому, если использовать методы Монте-Карло для вычисления числителя и знаменателя, каждый из них будет давать очень малое число, точное значение которого затмевается шумом, присущим Процесс отбора проб Монте-Карло. "Плохость" проблемы со знаком измеряется малостью знаменателя : если он намного меньше 1, проблема со знаком серьезна. Можно показать (например, ^[5] ), что${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \exp(i\theta [\sigma ])}$${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}$

${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T)}$

где - объем системы, - температура, - плотность энергии. Поэтому количество точек отбора проб методом Монте-Карло, необходимых для получения точного результата, экспоненциально возрастает по мере увеличения объема системы и по мере того, как температура приближается к нулю.${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$

Разложение весовой функции на модуль и фазу - лишь один из примеров (хотя он был рекомендован как оптимальный выбор, поскольку он минимизирует дисперсию знаменателя ^[6] ). В общем можно было написать

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}}$

где может быть любая положительная весовая функция (например, весовая функция теории). ^[7] Плохость проблемы знака затем измеряется с помощью${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T)}$

который снова экспоненциально стремится к нулю в пределе большого объема.

Способы уменьшения проблемы со знаком [ править ]

Проблема знака является NP-сложной , подразумевая, что полное и общее решение проблемы знака также решило бы все проблемы в классе сложности NP за полиномиальное время. ^[8] Если (как обычно подозревают) не существует решений NP проблем с полиномиальным временем (см. P в сравнении с проблемой NP ), то не существует общего решения проблемы знаков. Это оставляет открытой возможность того, что могут быть решения, которые работают в конкретных случаях, когда колебания подынтегральной функции имеют структуру, которую можно использовать для уменьшения численных ошибок.

В системах с умеренной проблемой знака, такой как теории поля при достаточно высокой температуре или в достаточно малом объеме, проблема знака не слишком серьезна, и полезные результаты могут быть получены различными методами, такими как более тщательно настроенное переназначение, аналитическое продолжение. от воображаемого к реальному , или разложение Тейлора по степеням . ^{[3] [9]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Существуют различные предложения по решению систем с серьезной проблемой знаков:

• Кластерные алгоритмы Мерона . Они достигают экспоненциального ускорения за счет разложения мировых линий фермионов на кластеры, которые вносят вклад независимо друг от друга. Кластерные алгоритмы были разработаны для некоторых теорий ^[5], но не для модели электронов Хаббарда, или для КХД , теории кварков.
• Стохастическое квантование . Сумма по конфигурациям получается как равновесное распределение состояний, исследуемое комплексным уравнением Ланжевена . До сих пор было обнаружено, что алгоритм избегает проблемы знака в тестовых моделях, которые имеют проблему знака, но не включают фермионы. ^[10]
• Метод фиксированного узла. Один фиксирует расположение узлов (нулей) многочастичной волновой функции и использует методы Монте-Карло для получения оценки энергии основного состояния с учетом этого ограничения. ^[11]
• Алгоритмы Майораны. Использование фермионного представления Майорана для выполнения преобразований Хаббарда-Стратоновича может помочь решить проблему знака фермионов для класса фермионных многочастичных моделей. ^{[12] [13]}

См. Также [ править ]

• Метод стационарной фазы
• Колебательный интеграл

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]