В математической дисциплине эргодической теории , Sinai-Ruelle-Боуэна (SRB) мера является инвариантной мерой , которая ведет себя так же, но это не эргодическая мера. Чтобы быть эргодичным, среднее по времени должно быть равно среднему по пространству почти для всех начальных состояний., с участием являясь фазовым пространством . [1] Для меры SRB, достаточно, чтобы условие эргодичности выполнялось для начальных состояний в множестве положительной меры Лебега . [2]
Первые идеи , касающиеся SRB мер были введены Яков Синай , Рюэль и Руфус Боуэн в менее общей площади диффеоморфизмов и аттракторов аксиома А . [3] [4] [5]
Определение
Позволять быть картой . Тогда мера определено на является мерой SRB, если существуют положительной меры Лебега и с той же мерой Лебега, такой что: [2] [6]
для каждого и каждая непрерывная функция .
Можно увидеть меру SRB как тот, который удовлетворяет выводам эргодической теоремы Биркгофа о меньшем множестве, содержащемся в.
Наличие мер СРБ
Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования SRB-мер. Он рассматривает случай аттракторов аксиомы A, который проще, но он был расширен на более общие сценарии. [7]
Теорема 1: [7] Пусть быть диффеоморфизм с аттрактором аксиомы A . Предположим, что этот аттрактор неприводим , то есть это не объединение двух других множеств, которые также инвариантны относительно. Тогда существует единственная борелевская мера, с участием , [a] характеризуются следующими эквивалентными утверждениями:
- - мера SRB;
- имеет абсолютно непрерывные меры, обусловленные неустойчивым многообразием и его подмногообразиями;
- , где - энтропия Колмогорова – Синая , - неустойчивое многообразие и - дифференциальный оператор .
Также в этих условиях - динамическая система, сохраняющая меру .
Также было доказано, что сказанное выше эквивалентно утверждению, что равна нулю шумов предельного стационарного распределения в виде цепи Маркова с состояниями. [8] То есть учтите, что к каждой точке связана вероятность перехода с уровнем шума который измеряет степень неопределенности следующего состояния таким образом, чтобы:
где - мера Дирака . Предел нулевого шума - это стационарное распределение этой цепи Маркова, когда уровень шума приближается к нулю. Важность этого состоит в том, что в нем математически утверждается, что мера SRB является «хорошим» приближением к практическим случаям, когда существует небольшое количество шума [8], хотя ничего нельзя сказать о допустимом количестве шума.
Смотрите также
Заметки
- ^ Если он не интегрируется с одним, таких мер будет бесконечное количество, каждая из которых равна другой, за исключением мультипликативной константы.
Рекомендации
- ^ Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer.
- ^ а б Bonatti, C .; Виана, М. (2000). «SRB меры для частично гиперболических систем, центральное направление которых в основном сужается». Израильский математический журнал . 115 (1): 157–193. DOI : 10.1007 / BF02810585 . S2CID 10139213 .
- ^ Боуэн, Р. (1975). «Глава 4. Состояния равновесия и эргодическая теория диффеоморфизмов Аносова». Конспект лекций по математике . Springer.
- ^ Руэлль, Д. (1976). «Мера, связанная с аттракторами аксиомы А». Американский журнал математики : 619–654. DOI : 10.2307 / 2373810 . JSTOR 2373810 .
- ^ Синай, Ю.Г. (1972). «Меры Гиббса в эргодической теории». Российские математические обзоры . 27 (4): 21–69. DOI : 10.1070 / RM1972v027n04ABEH001383 .
- ^ Мецгер, Р.Дж. (2000). «Меры Синая – Рюэля – Боуэна для сжатия отображений и потоков Лоренца» . Annales де l'Institut Анри Пуанкаре C . 17 (2): 247–276. Bibcode : 2000AIHPC..17..247M . DOI : 10.1016 / S0294-1449 (00) 00111-6 .
- ^ а б Янг, LS (2002). «Что такое меры SRB и в каких динамических системах они есть?». Журнал статистической физики . 108 (5–6): 733–754. DOI : 10,1023 / A: 1019762724717 . S2CID 14403405 .
- ^ а б Cowieson, W .; Янг, LS (2005). «SRB меры как пределы нулевого шума». Эргодическая теория и динамические системы . 25 (4): 1115–1138. DOI : 10.1017 / S0143385704000604 .