В математике , то Смит-Вольтерровский канторово множество ( SVC ), жир множество Кантора или ε-канторово множество [1] является примером множества точек на вещественном прямой ℝ , что не является нигде не плотным (в частности , она не содержит интервалов ), но имеет положительную меру . Набор Смит – Вольтерра – Кантора назван в честь математиков Генри Смита , Вито Вольтерры и Георга Кантора . В статье 1875 года Смит обсуждал нигде не плотный набор положительной меры на вещественной прямой [2]и Вольтерра ввел аналогичный пример в 1881. [3] Кантора , как мы ее знаем сегодня , а затем в 1883. Смит-Вольтерра-Cantor множества топологически эквивалентно в средней трети Cantor множества .
Строительство
Подобно построению множества Кантора, множество Смита – Вольтерры – Кантора строится путем удаления определенных интервалов из единичного интервала [0, 1].
Процесс начинается с удаления средней 1/4 из интервала [0, 1] (так же, как удаление 1/8 по обе стороны от средней точки на 1/2), поэтому оставшийся набор равен
Следующие шаги состоят в удалении подынтервалов шириной 1/4 n из середины каждого из 2 n −1 оставшихся интервалов. Итак, для второго шага интервалы (5/32, 7/32) и (25/32, 27/32) удаляются, оставляя
Если продолжать до бесконечности с этим удалением, то множество Смита – Вольтерры – Кантора представляет собой набор точек, которые никогда не удаляются. На изображении ниже показан начальный набор и пять итераций этого процесса.
Каждая последующая итерация в конструкции множества Смита – Вольтерра – Кантора удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Это контрастирует с набором Кантора , где доля, удаленная из каждого интервала, остается постоянной. Таким образом, первая имеет положительную меру, а вторая - нулевую.
Характеристики
По построению множество Смита – Вольтерра – Кантора не содержит интервалов и, следовательно, имеет пустую внутренность. Это также пересечение последовательности замкнутых множеств, что означает, что она замкнута. При этом интервалы общей длины
удалены из [0, 1], показывая, что множество оставшихся точек имеет положительную меру 1/2. Это делает набор Смита – Вольтерры – Кантора примером замкнутого множества, граница которого имеет положительную меру Лебега .
Другие наборы Fat Cantor
В общем, можно удалить с каждого оставшегося подынтервала на -й шаг алгоритма, и в итоге получаем канторовский набор. Результирующий набор будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры начального интервала. Например, предположим, что средние интервалы длины удалены из для каждого й итерации, для некоторых. Тогда полученное множество имеет меру Лебега
который идет от к в виде идет от к . ( невозможно в этой конструкции.)
Декартовы произведения множеств Смита – Вольтерра – Кантора можно использовать для поиска полностью несвязных множеств в более высоких размерностях с ненулевой мерой. Применяя теорему Данжуа – Рисса к двумерному множеству этого типа, можно найти кривую Осгуда , жорданову кривую , у которой точки на кривой имеют положительную площадь. [4]
Смотрите также
- SVC используется при построении функции Вольтерры (см. Внешнюю ссылку).
- SVC является примером компактного множества, которое не является измеримым по Жордану, см. Мера Жордана # Расширение на более сложные множества .
- Индикаторная функция SVC является примером ограниченной функции, которая не интегрируема по Риману на (0,1) и, более того, не равна почти всюду интегрируемой функции Римана , см. Интеграл Римана # Примеры .
Рекомендации
Источники
- Брессуд, Дэвид Мариус (2003). Борьба с фундаментальной теоремой исчисления: функция Вольтерры , доклад Давида Мариуса Брессуда
- Смит, Генри JS (1874). « Об интегрировании разрывных функций ». Труды Лондонского математического общества. Первая серия. 6: 140–153