Сферический клин

Сферический клин радиусом r и углом клина α

В геометрии , A сферической клин или Унгул представляет собой часть шара , ограниченного два плоских semidisks и сферической луночкой (называемый клин в базе ). Угол между радиусами, лежащими в пределах ограничивающих полудисков, равен двугранному углу клина α . Если AB представляет собой полудиск, который при полном вращении вокруг оси z образует шар, то при вращении AB только на заданное значение α образуется сферический клин с тем же углом α . ^[1] Беман (2008)^[2] отмечает, что «сферический клин относится к сфере, частью которой он является, как угол клина по отношению к перигону». ^[A] Сферический клин α = $π$ радиан (180 °) называется полусферой , а сферический клин α = 2 $π$ радиан (360 °) составляет полный шар.

Объем сферического клина может быть интуитивно связан с АВАМИ определения в том , что в то время как объем шара радиуса г задаются4/3 $π$ r ³ , объем сферического клина того же радиуса r определяется выражением ^[3]

{\ displaystyle V = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ tfrac {2} {3}} \ alpha г ^ {3} \ ,.}

Экстраполируя тот же принцип и учитывая, что площадь поверхности сферы равна 4 $π$ r ² , можно увидеть, что площадь поверхности лунки, соответствующей тому же клину, равна ^[A]

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot 4 \ pi r ^ {2} = 2 \ alpha r ^ {2} \ ,.}

Харт (2009) ^[3] утверждает, что «объем сферического клина равен объему сферы, поскольку количество градусов в [углу клина] равно 360». ^[A] Таким образом, выведя формулу объема сферического клина, можно сделать вывод, что если V _s - это объем сферы, а V _w - объем данного сферического клина,

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ mathrm {w}}} {V _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ ,.}

Кроме того, если S _l - это площадь луны данного клина, а S _s - площадь сферы клина, ^[4]^[A]

{\ displaystyle {\ frac {S _ {\ mathrm {l}}} {S _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ ,.}

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

A. ^ Иногда проводится различие между терминами « сфера » и « шар », где сфера рассматривается как просто внешняя поверхность твердого шара. Обычно термины взаимозаменяемы, как в комментариях Бемана (2008) и Харта (2008).

Ссылки [ править ]

^ Мортон, П. (1830). Геометрия, плоскость, твердое тело и сферическое в шести книгах . Болдуин и Крэдок. п. 180 .
^ Beman, DW (2008). Новая плоская и твердотельная геометрия . BiblioBazaar. п. 338. ISBN 0-554-44701-0.
^ ^а ^б Харт, Калифорния (2009). Твердая геометрия . BiblioBazaar. п. 465. ISBN 1-103-11804-8.
^ Аваллоне, EA; Baumeister, T .; Садех, А .; Маркс, LS (2006). Стандартный справочник Марка для инженеров-механиков . McGraw-Hill Professional. п. 43. ISBN 0-07-142867-4.

[1] Мортон, П. (1830). Геометрия, плоскость, твердое тело и сферическое в шести книгах . Болдуин и Крэдок. п. 180 .

[2] Beman, DW (2008). Новая плоская и твердотельная геометрия . BiblioBazaar. п. 338. ISBN 0-554-44701-0.

[Hart-3] а ^б Харт, Калифорния (2009). Твердая геометрия . BiblioBazaar. п. 465. ISBN 1-103-11804-8.

[4] Аваллоне, EA; Baumeister, T .; Садех, А .; Маркс, LS (2006). Стандартный справочник Марка для инженеров-механиков . McGraw-Hill Professional. п. 43. ISBN 0-07-142867-4.

[1]