В геометрии , A диск (также пишется диск ) [1] является область в плоскости , ограниченной окружностью . Диск называется замкнутым, если он содержит окружность, составляющую его границу, и открытым, если его нет. [2]
Формулы
В декартовой системе координат , то открытый круг центраа радиус R определяется формулой [1]
в то время как замкнутый диск того же центра и радиуса имеет вид
Область закрытого или открытого диска радиуса R является π R 2 (см область диска ). [3]
Характеристики
Диск имеет круговую симметрию . [4]
Открытый диск и закрытый диск не являются топологически эквивалентными (то есть они не гомеоморфны ), поскольку они имеют разные топологические свойства друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактен, тогда как каждый открытый диск не компактен. [5] Однако с точки зрения алгебраической топологии у них много общих свойств: оба они стягиваемы [6] и поэтому гомотопически эквивалентны одной точке. Это означает , что их основные группы тривиальны, и все гомологии тривиальны , кроме 0 - й один, изоморфная Z . Эйлерова характеристика точки (и , следовательно , также , что из закрытого или открытого диска) равен 1. [7]
Каждое непрерывное отображение замкнутого диска в себя имеет по крайней мере одну фиксированную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . [8] Утверждение неверно для открытого диска: [9]
Рассмотрим, например, функцию который отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точку открытого единичного диска справа от данного. Но для замкнутого единичного диска он фиксирует каждую точку на полукруге.
Смотрите также
- Единичный диск , диск с радиусом один
- Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими кругами
- Болл (математика) , обычный термин для трехмерного аналога диска
- Дисковая алгебра , пространство функций на диске
- Ортоцентроидный диск , содержащий определенные центры треугольника
Рекомендации
- ^ а б Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь , Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591.
- ^ Арнольд Б.Х. (2013), Интуитивные концепции элементарной топологии , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765.
- ^ Ротман, Джозеф Дж. (2013), Путешествие в математику: Введение в доказательства , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687.
- ^ Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконки и симметрии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198555995.
диск круговой симметрии.
- ^ Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур , Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551.
- ^ Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход , Тексты студентов Лондонского математического общества, 14 , Cambridge University Press, стр. 79, ISBN 9780521349369.
- ^ В более высоких измерениях эйлерова характеристика замкнутого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и −1 для нечетномерных шаров. Видеть Klain, Daniel A .; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50..
- ^ Арнольд (2013) , стр. 132.
- Перейти ↑ Arnold (2013) , Ex. 1, стр. 135.