Дисковая алгебра

В функциональном и комплексном анализе , то диск алгебра A ( D ) (также пишется алгебры диска ) есть множество голоморфных функций

f  : D → C ,

где D представляет собой открытый единичный круг в комплексной плоскости C , F продолжается до непрерывной функции на замыкании части D . То есть,

${\ Displaystyle A (\ mathbf {D}) = H ^ {\ infty} (\ mathbf {D}) \ cap C ({\ overline {\ mathbf {D}}}),}$

где H ^∞ ( D ) обозначает банахово пространство ограниченных аналитических функций на единичном круге D (т. е. пространство Харди ). При наделении поточечным сложением ( f + g ) ( z ) = f ( z ) + g ( z ) и поточечным умножением ( fg ) ( z ) = f ( z ) g ( z ) это множество становится алгеброй над C , поскольку если ƒ и gпринадлежат дисковой алгебре, то ƒ  +  g и ƒg тоже .

Учитывая единую норму ,

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbf {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbf {D} }}\},}$

по построению она становится равномерной алгеброй и коммутативной банаховой алгеброй .

По построению дисковая алгебра является замкнутой подалгеброй пространства Харди H ^∞ . В отличие от более сильного требования существования непрерывного продолжения на окружность, по лемме Фату общий элемент H ^∞ может быть радиально продолжен на окружность почти всюду .

Ссылки [ править ]