В твердой геометрии , Унгул представляет собой область из тела вращения , отрезанная от плоского косого к его основанию. [1] Распространенным примером является сферический клин . Термин Унгул относится к копыту о наличии лошади , анатомической особенности , которая определяет класс млекопитающих , называемых копытными .
Объем из Унгула цилиндра была рассчитывается путем Грегуар де Сент - Винсент . [2] Два цилиндра с одинаковыми радиусами и перпендикулярными осями пересекаются в четырех двойных язычках. [3] бицилиндр , образованный пересечением были измерены с помощью Архимеда в Метод механических теорем , но рукопись не была потеряна до 1906.
Историк математического анализа описал роль копытца в интегральном исчислении :
- Сам Грегуар был в первую очередь заинтересован в том, чтобы проиллюстрировать ссылкой на ноготь, что объемная интеграция может быть сведена через ductus in planum к рассмотрению геометрических соотношений между ложами плоских фигур. Однако копытце оказалось ценным источником вдохновения для тех, кто последовал за ним и увидел в нем средство представления и преобразования интегралов множеством гениальных способов. [4] : 146
Цилиндрическая ноготь [ править ]
Унгула правого кругового цилиндра.
Цилиндрический язычок с радиусом основания r и высотой h имеет объем
- ,. [5]
Общая площадь его поверхности составляет
- ,
площадь его изогнутой боковой стенки равна
- ,
а площадь его вершины (наклонная крыша) равна
- .
Доказательство [ править ]
Рассмотрим цилиндр, ограниченный снизу плоскостью, а сверху - плоскостью, где k - уклон скатной крыши:
- .
Если разрезать объем на срезы, параллельные оси y , то дифференциальный срез, имеющий форму треугольной призмы, будет иметь объем
куда
это площадь прямоугольного треугольника с вершинами, , , и , а основание которого и высота , таким образом , и , соответственно. Тогда объем всей цилиндрической ногтевой кости равен
что равно
после замены .
Дифференциальная площадь поверхности изогнутой боковой стенки равна
- ,
площадь которого принадлежит почти плоского прямоугольника , ограниченного вершинами , , , и , и чьи ширина и высота , таким образом , и (достаточно близко к) , соответственно. Тогда площадь поверхности стены равна
где интеграл дает , так что площадь стены равна
- ,
и заменяя урожайность
- .
Основание цилиндрической ногтевой кости имеет площадь поверхности, равную полукругу радиуса r :, а скошенная вершина указанной ногтевой кости представляет собой полуэллипс с малой полуосью длины r и большой полуосью длины , так что его площадь
и заменяя урожайность
- . ∎
Обратите внимание, как площадь поверхности боковой стенки связана с объемом: такая площадь поверхности, будучи умноженной на, дает объем дифференциальной полуоболочки , интеграл которой равен объему.
Когда наклон k равен 1, то такой язычок составляет ровно одну восьмую бицилиндра , объем которого равен . Одна восьмая от этого .
Коническая ноготь [ править ]
Унгула правого кругового конуса.
Конический язычок высоты h , радиуса основания r и наклона верхней плоской поверхности k (если полукруглое основание находится внизу, на плоскости z = 0) имеет объем
куда
- высота конуса, из которого был вырезан ноготь, и
- .
Площадь изогнутой боковой стенки составляет
- .
В качестве проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда высота конуса стремится к бесконечности, так что конус становится цилиндром в пределе:
так что
- ,
- , и
- ,
что согласуется с цилиндрическим случаем.
Доказательство [ править ]
Пусть конус описывается
где r и H - константы, а z и ρ - переменные, причем
и
- .
Пусть конус рассечен плоскостью
- .
Подставляя это z в уравнение конуса и решая для ρ, получаем
которая для данного значения θ является радиальной координатой точки, общей как для плоскости, так и для конуса, наиболее удаленного от оси конуса по углу θ от оси x . Цилиндрическая координата высоты этой точки равна
- .
Таким образом, в направлении угла θ поперечное сечение конической ногтевой кости выглядит как треугольник
- .
Поворот этого треугольника под углом о г ось х дает другой треугольник с , , заменено , и соответственно, где и являются функциями вместо . Поскольку является бесконечно малым, а также бесконечно малым и отличается от и , поэтому для целей рассмотрения объема дифференциальной трапециевидной пирамиды их можно считать равными.
Дифференциальная трапецеидальная пирамида имеет трапециевидное основание с длиной в основании (конуса) , длиной в верхней части и высотой , поэтому трапеция имеет площадь
- .
Высота от трапецеидального основания до точки имеет длину, дифференциально близкую к
- .
(Это высота одного из боковых треугольников трапециевидной пирамиды.) Объем пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на ее высотную длину, поэтому объем конического язычка является интегралом:
куда
Подставляя правую часть в интеграл и выполняя некоторые алгебраические манипуляции, получаем формулу для объема, которую нужно доказать.
Для боковины:
а интеграл в правой части упрощается до . ∎
В качестве проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда k стремится к бесконечности; тогда конический ноготь должен стать полуконусом.
что составляет половину объема конуса.
что составляет половину площади поверхности изогнутой стенки конуса.
Площадь верхней части [ править ]
Когда «верхняя часть» (т. Е. Плоская поверхность, которая не является полукруглой, как основание) имеет параболическую форму, а ее площадь поверхности равна
- .
Когда тогда верхняя часть имеет эллиптическую форму (т. Е. Меньше половины эллипса), а ее площадь поверхности равна
куда
- ,
- ,
- ,
- , и
- .
Когда тогда верхняя часть представляет собой сечение гиперболы, а ее площадь поверхности равна
куда
- ,
- как указано выше,
- ,
- ,
- ,
- ,
где логарифм натуральный, и
- .
- ^ Ungula в Webster Dictionary.org
- ↑ Григорий Сент-Винсент (1647) Opus Geometricum quadraturae circi et sectionum coni
- ^ Blaise Pascal Lettre de Dettonville a Carcavi описывает онглет и двойной онглет, ссылка из HathiTrust
- ↑ Маргарет Э. Барон (1969) Истоки исчисления бесконечно малых , Pergamon Press , переиздано в 2014 году издательством Elsevier , предварительный просмотр Google Книг
- ^ Твердые тела - Объемы и поверхности в Engineering Toolbox
- Уильям Вогдес (1861) . Элементарный трактат по измерению и практической геометрии через Google Книги.