В теории музыки модель спирального массива - это расширенный тип питча . Математическая модель, включающая концентрические спирали («массив спиралей »), представляет человеческое восприятие высоты звука , аккордов и тональности в одном и том же геометрическом пространстве . Он был предложен в 2000 году Элейн Чу в ее докторской диссертации Массачусетского технологического института « К математической модели тональности» . [1]Дальнейшие исследования, проведенные Чу и другими, привели к модификации модели спирального массива и применили ее к различным проблемам теории и практики музыки, таким как поиск ключевых слов (символический и звуковой [2] [3] ), правописание тона [4]. [5] [6] [7] тональная сегментация, [8] [9] оценка сходства, [10] и музыкальный юмор. [11] Расширения и приложения описаны в разделе «Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения» . [12]
Модель спирального массива можно рассматривать как обобщенный тоннец , который отображает шаги в двумерную решетчатую (массив) структуру. Спиральный массив оборачивает двумерный тоннец в трехмерную решетку и моделирует структуры более высокого порядка, такие как хорды и ключи, внутри пространства решетки. Это позволяет модели спирального массива производить геометрическую интерпретацию отношений между структурами нижнего и верхнего уровня. Например, можно смоделировать и геометрически измерить расстояние между определенным шагом и определенной клавишей, которые представлены в виде точек в пространстве спирального массива. Чтобы сохранить правописание высоты тона, поскольку в музыкальном плане A # ≠ Bb в их функции и использовании, спиральный массив не предполагает энгармонической эквивалентности , то есть не сворачивается в тор. Пространственные отношения между высотой звука, аккордами и клавишами согласуются с таковыми в других представлениях тонального пространства. [13]
Модель и ее алгоритмы реального времени были реализованы в программном обеспечении тональной визуализации MuSA.RT [14] [15] (Музыка на спиральном массиве. Реальное время) и в бесплатном приложении MuSA_RT [16], оба из которых имеют использовались в музыкальных образовательных видео [17] [18] и в живых выступлениях. [19] [20] [21]
Структура спиральной решетки
Предлагаемая модель охватывает основные высоты звука, мажорные аккорды, минорные аккорды, мажорные и минорные тональности, представленные на пяти концентрических спиралях. Начиная с формулировки шаговой спирали, внутренние спирали образуются как выпуклые комбинации точек на внешних. Например, шаги C, E и G представлены как декартовы точки P (0), P (1) и P (4) (см. Определения в следующем разделе), которые очерчивают треугольник. Выпуклая комбинация этих трех точек является точкой внутри треугольника и представляет их центр воздействия ( ce ). Эта внутренняя точка, C M (0), представляет мажорную хорду C в модели спирального массива. Точно так же клавиши могут быть построены по центрам действия их аккордов I, IV и V.
- Внешняя спираль представляет классы высоты звука. Соседние классы высоты тона представляют собой музыкальный интервал в одну квинту и пространственно на четверть оборота. Порядок классов поля определяется линией пятых. Например, за C следует G (C и G - отличные друг от друга квинты), за которым следует D (G и D - отличные друг от друга квинты) и т. Д. В результате такой структуры и одного из важных свойства, ведущие к его выбору, вертикальные соседи - это музыкальный интервал на большую треть . Таким образом, ближайшие соседи питч-класса и сами по себе образуют идеальные пятую и большую третью интервалы.
- Взяв все последовательные трезвучия вдоль спирали и соединив их центры воздействия, внутри основной спирали образуется вторая спираль, представляющая основные аккорды.
- Точно так же, взяв соответствующие минорные трезвучия и соединив их центры воздействия, образуется третья спираль, представляющая минорные аккорды.
- Спираль мажорного ключа образована центрами воздействия центров воздействия аккордов I, IV и V.
- Спираль минорной тональности образована соединением аналогичных комбинаций аккордов i, iv / IV и V / v.
Уравнения для представлений высоты тона, хорды и тональности
Высотный класс спираль, Р , представлена в параметрической форме:
где k - целое число, представляющее расстояние шага от C по линии квинт, r - радиус спирали, а h - "подъем" спирали.
Главным спираль аккорда, С М представлена:
где а также .
Веса «w» влияют на то, насколько близко центр эффекта находится к основной, мажорной трети и идеальной квинте аккорда. Изменяя относительные значения этих весов, модель спирального массива влияет на то, насколько "близка" результирующая хорда к трем составляющим высотам. Обычно в западной музыке наибольшее значение при определении аккорда (w1) придается основному тону, за ним идет квинта (w2), а затем - третий (w3).
Спираль аккорда минорной, C м представлена:
где а также
Веса «u» действуют аналогично мажорному аккорду.
Спирали главный ключ, Т М представлено:
где а также .
Подобно весам, контролирующим, насколько близко составляющие высоты звука находятся к центру действия аккорда, который они производят, веса контролировать относительный эффект аккорд I, IV и V при определении того, насколько они близки к результирующей тональности.
Спираль минора, T м представлена:
где а также а также а также .
Рекомендации
- ^ Чу, Элейн (2000). К математической модели тональности (доктор философии). Массачусетский Институт Технологий. ЛВП : 1721,1 / 9139 .
- ^ Чуань, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2005). «Поиск полифонических звуковых ключей с использованием алгоритма CEG спиральной матрицы». Мультимедиа и выставка, 2005. ICME 2005. Международная конференция IEEE по . Амстердам, Нидерланды: IEEE. С. 21–24. DOI : 10.1109 / ICME.2005.1521350 . 0-7803-9331-7.
- ^ Чуань, Чинг-Хуа; Чу, Элейн (2007). «Аудиоключ: соображения при проектировании системы и примеры из 24 прелюдий Шопена» . Журнал EURASIP о достижениях в обработке сигналов . 2007 (56561). DOI : 10.1155 / 2007/56561 . Дата обращения 1 декабря 2015 .
- ^ Жуй, Элейн; Чен, Юнь-Цзин (2005). "Правописание высоты тона в реальном времени с использованием спирального массива". Компьютерный музыкальный журнал . 29 (2): 61–76. DOI : 10.1162 / 0148926054094378 . JSTOR 3681713 .
- ^ Жуй, Элейн; Чен, Юнь-Цзин (2003). «Определение окон, определяющих контекст: правописание с использованием спирального массива» (PDF) . Материалы Международной конференции по поиску музыкальной информации . Балтимор, штат Мэриленд.
- ^ Жуй, Элейн; Чен, Юнь-Цзин (2003). «Сопоставление Midi со спиральным массивом: устранение неоднозначности написания высоты тона». Вычислительное моделирование и решение проблем в сетевом мире . Феникс, Аризона: Спрингер. С. 259–275. DOI : 10.1007 / 978-1-4615-1043-7_13 .
- ^ Мередит, Дэвид (2007). «Оптимизация алгоритма написания текста Чу и Чена» (PDF) . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (2): 54–72. DOI : 10.1162 / comj.2007.31.2.54 .
- ^ Чу, Элейн (2002). «Спиральный массив: алгоритм определения ключевых границ» . Музыка и искусственный интеллект, Вторая международная конференция . Эдинбург: Спрингер. С. 18–31. ЛНАИ 2445.
- ^ Чу, Элейн (2005). «С двумя уважениями, Мессиан: сегментация посттональной музыки с использованием расстояний контекста высоты тона в спиральном массиве». Журнал новых музыкальных исследований . 34 (4): 341–354. DOI : 10.1080 / 09298210600578147 .
- ^ Мардиросян, Арпи; Чу, Элейн (2006). «Обобщение музыки через ключевые распределения: анализ оценки сходства по вариациям» (PDF) . Материалы Международной конференции по поиску музыкальной информации . Виктория, Канада. С. 613–618.
- ^ Жуй, Элейн; Франсуа, Александр (2007). "Видимый юмор - просмотр музыкальных юмористических устройств PDQ Баха в клавише с коротким темпом в пространстве спирального массива". Математика и вычисления в музыке, Первая международная конференция, MCM 2007 Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г. Пересмотренные избранные статьи . Берлин Гейдельберг: Springer. С. 11–18. DOI : 10.1007 / 978-3-642-04579-0_2 .
- ^ Чу, Элейн (2014). Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения . Международная серия исследований операций и управления. Springer. ISBN 9781461494744.
- ^ Чу, Элейн (2008). «Из сетки и в спираль: геометрические интерпретации и сравнения с моделью спирального массива» (PDF) . Вычислительная техника в музыковедении . 15 : 51–72.
- ^ Жуй, Элейн; Франсуа, Александр (2003). «MuSA.RT: музыка на спиральном массиве. В реальном времени» . МУЛЬТИМЕДИА '03 Материалы одиннадцатой международной конференции ACM по мультимедиа . Беркли, Калифорния: ACM. С. 448–449.
- ^ Жуй, Элейн; Франсуа, Александр (2005). «Интерактивные многомасштабные визуализации тональной эволюции в MuSA.RT Opus 2» . Компьютеры в индустрии развлечений . 3 (4): 3. DOI : 10,1145 / 1095534,1095545 .
- ^ Франсуа, Александр (2012). «МуСА_РТ» .
- ^ Меган Свон (12 декабря 2014 г.). Смотрите, что вы слышите . 3:41 минуты. Внутри музыки. Филармония Лос-Анджелеса.
- ^ Эрик Манкин (20 января 2010 г.). Инженер-пианист Элейн Чу рассказывает об использовании математических и программных инструментов для анализа музыки . 5:49 минут. Витерби. Университет Южной Калифорнии.
- ^ Аврил, Том (22 сентября 2008 г.). «Цифровой анализ музыки - у компьютеров прекрасный слух» . Philadelphia Inquirer . Филадельфия, Пенсильвания . Проверено 1 декабря 2015 года .
- ^ Хардести, Ларри (2008). «Геометрия звука» . Обзор технологий: MIT News Magazine : 111 . Проверено 1 декабря 2015 года .
- ^ «Фестиваль новых резонансов» . Мюзик-холл Уилтона, Лондон. 19 июня 2012 г.
дальнейшее чтение
- Чу, Элейн (2014). Математическое и вычислительное моделирование тональности: теория и приложения . Международная серия исследований операций и управления. Springer. ISBN 9781461494744.
- Чу, Элейн (2000). К математической модели тональности (доктор философии). Массачусетский Институт Технологий. ЛВП : 1721,1 / 9139 .
- Меган Свон (12 декабря 2014 г.). Смотрите, что вы слышите . 3:41 минуты. Внутри музыки. Филармония Лос-Анджелеса.
- Эрик Манкин (20 января 2010 г.). Инженер-пианист Элейн Чу рассказывает об использовании математических и программных инструментов для анализа музыки . 5:49 минут. Витерби. Университет Южной Калифорнии.
- Франсуа, Александр (2012). «МуСА_РТ» ., бесплатное приложение для Mac, реализующее и анимирующее модель спирального массива для ввода MIDI.