Спирали ( / ч я л ɪ к с / ), множественное число спиралей или спиралей ( / ч ɛ л ɪ с я г / ), является формой , как штопор или спиральной лестницы. Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями под постоянным углом к фиксированной оси. Спирали важны в биологии , поскольку молекула ДНК состоит из двух переплетенных спиралей , и многие белкиимеют спиральные субструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». [1] «Заполненная» спираль - например, «спиральный» (винтовой) наклонный участок - называется геликоидом . [2]
Типы
Спирали могут быть правосторонними или левосторонними. Если при взгляде вдоль оси спирали вращательное движение по часовой стрелке перемещает спираль от наблюдателя, это называется правой спиралью; если в сторону наблюдателя, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) - это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не рассматривать в зеркале, и наоборот.
Большинство резьб крепежных винтов имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z форма ДНК левой рукой.
Шаг спирали является высота одного полного оборота спирали, измеренное параллельно оси спирали.
Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и теми же осями, отличаясь при перемещении вдоль оси. [3]
Коническая спираль может быть определена как спираль на коническую поверхность, с расстоянием до вершины экспоненциальной функции угла , указывающего направление от оси. Примером могут служить американские горки « Штопор» в парке развлечений « Сидар-Пойнт» .
Круглая спираль, (т.е. один с радиусом постоянная) имеет постоянную полосу кривизну и постоянную кручению .
Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью [4], если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно. [5]
Геометрический шаг - это расстояние, на которое элемент воздушного винта продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси винта.
Кривая называется наклонной спиралью, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. [6] Его можно построить, применив преобразование к подвижной системе отсчета общей спирали. [7]
Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков .
Математическое описание
В математике спираль - это кривая в трехмерном пространстве. Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; [8] возможно, простейшее уравнение для одного -
По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) отслеживает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правая система координат.
В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) та же спираль параметризуется:
Круговая спираль радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ) описывается следующей параметризацией:
Другой способ математического построения спирали - построить комплексную функцию e xi как функцию действительного числа x (см . Формулу Эйлера ). Значение x, а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три реальных измерения.
За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левая спираль может быть построена несколькими способами, самый простой из которых - отрицать любой из компонентов x , y или z .
Длина дуги, кривизна и скручивание
Длина круговой спирали радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ), выраженная в прямоугольных координатах как
равно , Его кривизна являетсяи его кручение является Спираль имеет постоянную ненулевую кривизну и кручение.
Спираль - это вектор-функция
Таким образом, спираль может быть изменена в зависимости от , который должен быть единичной скоростью:
Единичный касательный вектор равен
Нормальный вектор
Его кривизна .
Единичный вектор нормали равен
Вектор бинормали равен
Его кручение .
Примеры
В музыке , звуковая система часто моделируются с спиралями или двойными спиралями, чаще всего , выступающие из круга , такие как круг пятых , таким образом , чтобы представлять октаву эквивалентность .
Кристаллическая структура свернутой молекулярной спирали , описанная Lehn et al. в Helv. Чим. Acta. , 2003, 86, 1598–1624.
Естественная левая спираль, созданная вьющимся растением.
Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по спиральной траектории.
Спиральная винтовая пружина
Смотрите также
- Альфа-спираль
- Спираль Бурдейка – Кокстера
- Коллагеновая спираль
- Спиральная симметрия
- Спиральность
- Угол наклона спирали
- Hemihelix
- Поверхность ракушки
- Соленоид
- Суперспираль
- Тройная спираль
Рекомендации
- ^ ἕλιξ Архивировано 16 октября 2012 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Геликоид" . MathWorld .
- ^ " Double Helix архивации 2008-04-30 в Wayback Machine " по Шандор Кабай, Wolfram Demonstrations проекта .
- ↑ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр.72.
- ↑ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 74.
- ^ Идзумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , 28: 153–163.
- ^ Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе наклонной спирали . arXiv: 1302.3175 Архивировано 5 февраля 2018 г. на Wayback Machine .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Спираль» . MathWorld .
< https://www.merriam-webster.com/dictionary/geometrical%20pitch