Закон Стефана – Больцмана

График функции полной излучаемой энергии черного тела, пропорциональной его термодинамической температуре . Синим цветом показана полная энергия в соответствии с приближением Вина ,${\ displaystyle j ^ {\ star}}$${\displaystyle T\,}$${\displaystyle j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}$

Закон Стефана – Больцмана описывает мощность, излучаемую черным телом, с точки зрения его температуры . В частности, закон гласит Стефан-Больцман , что полная энергия , излучаемая на единицу площади поверхности в виде черного тела через все длины волн в единицу времени (также известное как черное тело излучательной способность ) прямо пропорционален четвертая степень из черного тела термодинамических температура T :${\displaystyle j^{\star }}$

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}.}$

Константа пропорциональности сг , называется постоянная Стефана-Больцмана , является производным от других известных физических констант . С 2019 года значение константы равно

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670374\ldots \times 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}\,K^{-4}} ,}$

где k - постоянная Больцмана , h - постоянная Планка , c - скорость света в вакууме . Сияния с определенным углом зрения (ватт на квадратный метр в стерадиан ) задается

${\displaystyle L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.}$

Орган , который не поглощает все падающее излучение (иногда известное как серое тело) излучает меньше , чем полную энергию черного тело , и характеризуется излучательной способность , :${\displaystyle \varepsilon <1}$

${\displaystyle j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.}$

Излучательная способность имеет размеры потока энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), а единицы измерения СИ - джоули в секунду на квадратный метр или, что эквивалентно, ватты на квадратный метр. Единицей измерения абсолютной температуры T в системе СИ является кельвин . - коэффициент излучения серого тела; если это идеальное черное тело . В еще более общем (и реалистично) случае, излучательная зависит от длины волны, .${\displaystyle j^{\star }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =1}$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\lambda )}$

Чтобы найти полную мощность, излучаемую объектом, умножьте его на площадь его поверхности :${\displaystyle A}$

${\displaystyle P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.}$

Частицы длин волн и субволнового масштаба, ^[1] метаматериалы , ^[2] и другие наноструктуры не подпадают под лучево-оптические ограничения и могут быть разработаны таким образом, чтобы выходить за рамки закона Стефана-Больцмана.

История [ править ]

В 1864 году Джон Тиндалл представил измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующего цвета нити. ^[3] Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1879 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( О соотношении между тепловое излучение и температура ) в бюллетенях сессий Венской академии наук. ^{[4] [5]}

Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманом (1844–1906) в 1884 году, опираясь на работы Адольфо Бартоли . ^[6] Бартоли в 1876 г. вывел существование радиационного давления из принципов термодинамики . Вслед за Бартоли Больцман рассматривал идеальную тепловую машину, использующую электромагнитное излучение вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.

Закон был практически сразу подтвержден экспериментально. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но идеальная точность в пределах погрешностей измерения была подтверждена до температур 1535 К к 1897 году. ^[7] Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана – Больцмана как функции скорости света , то постоянная Больцмана и постоянная Планка , является прямым следствием из закона Планка , сформулированные в 1900 году.

После переопределения базовых единиц СИ в 2019 году , в котором фиксируются значения постоянной Больцмана k , постоянной Планка h и скорости света c , постоянная Стефана – Больцмана равна точно

${\displaystyle \sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \,.}$

σ = 5,670 374 419 184 429 453 970 996 731 889 230 875 840 122 970 291 30 ... × 10 ^-8  Вт / м ² К ⁴ .

Примеры [ править ]

Температура Солнца [ править ]

С помощью своего закона Стефан также определил температуру поверхности Солнца . ^[8] Он сделал вывод из данных Жака-Луи Соре (1827–1890) ^[9], что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше, чем плотность потока энергии некоторой нагретой металлической пластинки (тонкой пластины). Круглая пластинка располагалась на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы ее можно было видеть под тем же углом, что и Солнце. По оценке Соре, температура ламели составляет примерно от 1900 ° C до 2000 ° C. Стефан предположил, что ⅓ потока энергии от Солнца поглощается атмосферой Земли., поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.

Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Температура, полученная Стефаном, была медианным значением предыдущих, 1950 ° C, и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. Поскольку 2,57 ⁴ = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше, чем температура ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 ° C или 5700 K (современное значение 5778 K ^[10] ). Это было первое разумное значение температуры Солнца. До этого заявлялись значения от 1800 ° C до 13000000 ° C ^[11] . Нижнее значение 1800 ° C было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с использованием закона Дюлонга – Пети .^[12] Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.

Температура звезд [ править ]

Температуру звезд, отличных от Солнца, можно приблизительно оценить с помощью аналогичных средств, рассматривая излучаемую энергию как излучение черного тела . ^[13] Итак:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma {T_{e}}^{4}}$

где L - светимость , σ - постоянная Стефана – Больцмана , R - радиус звезды, T - эффективная температура . Эту же формулу можно использовать для вычисления приблизительного радиуса звезды главной последовательности относительно Солнца:

${\displaystyle {\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{-2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}}$

где - радиус Солнца , - светимость Солнца и т. д.${\displaystyle R_{\odot }}$${\displaystyle L_{\odot }}$

С помощью закона Стефана – Больцмана астрономы могут легко определить радиусы звезд. Закон встречается также в термодинамике в черных дырах в так называемом Хокинг .

Эффективная температура Земли [ править ]

Точно так же мы можем вычислить эффективную температуру Земли T _⊕ , приравняв энергию, полученную от Солнца, к энергии, излучаемой Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь). Светимость Солнца L _⊙ определяется по _{формуле} :

${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$

На Земле эта энергия проходит через сферу с радиусом в ₀ , то расстояние между Землей и Солнцем, и облученностью (принимаемой мощностью на единицу площади) задаются

${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$

Земля имеет радиус R _⊕ и, следовательно, ее поперечное сечение . Таким образом, радиационный поток (т.е. солнечная энергия), поглощаемый Землей, определяется как:${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$

${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }:}$

Поскольку закон Стефана – Больцмана использует четвертую степень, он оказывает стабилизирующее влияние на обмен, и поток, излучаемый Землей, имеет тенденцию быть равен поглощенному потоку, близкому к установившемуся состоянию, когда:

${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Тогда T _⊕ можно найти:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$

где T _⊙ - температура Солнца, R _⊙ радиус Солнца, а a ₀ - расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру на поверхности Земли 6 ° C при условии, что она отлично поглощает все падающие на нее излучения и не имеет атмосферы.

Альбедо Земли составляет 0,3, что означает, что 30% солнечной радиации, попадающей на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, если предположить, что поглощенная энергия умножена на 0,7, но что планета все еще излучает как черное тело (последнее по определению эффективной температуры , которое мы и рассчитываем). Это приближение снижает температуру в 0,7 ^1/4 раза , что дает 255 К (-18 ° C). ^{[14] [15]}

Вышеуказанная температура является температурой Земли, наблюдаемой из космоса, а не температурой земли, а средней температурой по всем излучающим телам Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 K (15 ° C), что выше, чем эффективная температура 255 K, и даже выше, чем температура 279 K, которую могло бы иметь черное тело.

В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос состоит в том, чтобы спросить, какой будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла падения солнца на поверхность и от того, сколько воздуха прошло через солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, энергетическая освещенность может достигать 1120 Вт / м ² . ^[16] Тогда закон Стефана – Больцмана дает температуру

${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$

или 102 ° С. (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К.) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой и «пытающейся» достичь равновесия со звездным светом. и, возможно, лунный свет ночью, но его согревает атмосфера.

Происхождение [ править ]

Термодинамический вывод плотности энергии [ править ]

Тот факт, что плотность энергии ящика, содержащего излучение, пропорциональна, можно вывести с помощью термодинамики. ^{[17] [18]} Этот вывод использует связь между давлением излучения p и плотностью внутренней энергии , связь, которую можно показать с помощью формы тензора электромагнитного напряжения-энергии . Это отношение:${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$

Теперь из фундаментального термодинамического соотношения

${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$

после деления на и фиксации получаем следующее выражение  :${\displaystyle dV}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$

Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла :

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$

Из определения плотности энергии следует, что

${\displaystyle U=uV}$

где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$

Теперь равенство

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$

после замены и для соответствующих выражений можно записать как${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}}.}$

Поскольку частную производную можно выразить как связь только между и (если выделить ее на одной стороне равенства), частная производная может быть заменена обычной производной. После разделения дифференциалов равенство принимает вид${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$

что приводит сразу , с как некоторая константа интегрирования.${\displaystyle u=AT^{4}}$${\displaystyle A}$

Вывод из закона Планка [ править ]

Этот закон можно вывести, рассмотрев небольшую плоскую поверхность черного тела, излучающуюся в полусферу. Этот вывод использует сферические координаты , где θ является зенитным углом, а φ - азимутальным углом; а маленькая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = ^π / ₂ .

Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка  :

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.}$

где

• ${\displaystyle I(\nu ,T)\,}$это количество мощности на единицу площади поверхности на единицу телесного угла на единицу частоты , излучаемое на частоте от черного тела при температуре Т .${\displaystyle \nu \,}$
• ${\displaystyle h\,}$является постоянной Планка
• ${\displaystyle c\,}$это скорость света , и
• ${\displaystyle k\,}$- постоянная Больцмана .

Величина - это мощность, излучаемая поверхностью площади A через телесный угол dΩ в диапазоне частот от ν до ν  +  dν .${\displaystyle I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega }$

Закон Стефана-Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \,}$

Обратите внимание, что косинус появляется потому, что черные тела являются ламбертовскими (т.е. они подчиняются закону косинусов Ламберта ), а это означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет фактической интенсивностью, умноженной на косинус зенитного угла. Чтобы получить закон Стефана – Больцмана, мы должны интегрировать по полусфере и проинтегрировать от 0 до ∞.${\textstyle d\Omega =\sin \theta \ d\theta d\varphi }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$

Затем подключаемся к I :

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$

Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену,

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$

который дает:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$

Интеграл справа является стандартным и имеет много названий: это частный случай интеграла Бозе – Эйнштейна , полилогарифма или дзета-функции Римана . Значение интеграла дает результат, который для идеальной поверхности черного тела:${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle 6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$

Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любую дифференцируемую поверхность можно аппроксимировать набором небольших плоских поверхностей. Пока геометрия поверхности не заставляет черное тело реабсорбировать собственное излучение, полная излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности - это просто сумма площадей каждой поверхности, так что этот закон также выполняется для всех выпуклых черных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру повсюду. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучает, как если бы оно само было черным телом.

Плотность энергии [ править ]

Полная плотность энергии U может быть вычислена аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование проводится по всей сфере и отсутствует косинус, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c, чтобы получить плотность энергии U :

${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,}$

Таким образом заменяется на , что дает дополнительный коэффициент 4.${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

Таким образом, всего:

${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$

См. Также [ править ]

• Закон смещения Вина
• Закон Рэлея – Джинса
• Сияние
• Нульмерные модели
• Черное тело
• Уравнение Сакума – Хаттори
• Радо фон Кевеслигети

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стефан, Дж. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [О взаимосвязи между тепловым излучением и температурой] (PDF) , Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen (in German), 79 : 391–428
• Больцман, Л. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод небольшого закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры электромагнитной теории света], Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке), 258 (6): 291–294, Bibcode : 1884AnP ... 258..291B , doi : 10.1002 / andp.18842580616