В математике , то Стирлинг полиномы представляют собой семейство многочленов , обобщающие важные последовательности чисел , появляющихся в комбинаторике и анализе , которые тесно связаны с числами Стирлинга , в числах Бернулли и обобщенные полиномы Бернулли . Существует несколько вариантов полиномиальной последовательности Стирлинга , рассматриваемых ниже, в первую очередь, включая форму последовательности Шеффера последовательности,, определяемый характерным образом через специальную форму его экспоненциальной производящей функции и полиномов Стирлинга (свертки) ,, которые также удовлетворяют характерной обычной производящей функции и используются при обобщении чисел Стирлинга (обоих видов) на произвольные комплексные входные данные. Мы рассматриваем " полиномиальный сверток " вариант этой последовательности и его свойства вторым в последнем пункте статьи. Еще другие варианты полиномов Стирлинга изучаются в дополнительных ссылках на статьи, указанные в ссылках.
Для неотрицательных целых k полиномы Стирлинга S k ( x ) являются последовательностью Шеффера для [1] определяется экспоненциальной производящей функцией
Многочлены Стирлинга являются частным случаем многочленов Нёрлунда (или обобщенных многочленов Бернулли ) [2], каждый из которых имеет экспоненциальную производящую функцию
заданный соотношением .
Первые 10 полиномов Стирлинга приведены в следующей таблице:
k | S k ( x ) |
---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
Еще один вариант полиномов Стирлинга рассмотрен в [3] (см. Также ниже подраздел о сверточных полиномах Стирлинга ). В частности, статья И. Гесселя и Р.П. Стэнли определяет модифицированные полиномиальные последовательности Стирлинга: а также где является беззнаковым числом Стирлинга первого рода , с точкой зрения двух чисел Стирлинга треугольников для неотрицательных целых чисел. Для фиксированных, оба а также являются полиномами входных каждая степень и со старшим коэффициентом, заданным двойным факторным членом.
Ниже обозначим полиномы Бернулли, ачисла Бернулли по соглашению обозначает число Стирлинга первого рода ; а такжеобозначает числа Стирлинга второго рода .
- Особые значения:
- Если а также затем: [4]
а также: - Последовательность имеет биномиальный тип , так как
Более того, эта базовая рекурсия выполняется: - Явные представления, включающие числа Стирлинга, можно вывести с помощью формулы интерполяции Лагранжа :
Здесь, являются полиномами Лагерра . - Также имеют место следующие отношения:
- Из дифференцирования производящей функции легко следует, что
Определение и примеры
Другой вариант полиномиальной последовательности Стирлинга соответствует частному случаю сверточных полиномов, изученных в статье Кнута [5] и в справочнике по конкретной математике . Сначала определим эти многочлены через числа Стирлинга первого рода как
Отсюда следует, что эти многочлены удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, заданному формулой
Эти полиномы " свертки " Стирлинга могут использоваться для определения чисел Стирлинга, а также , для целых чисел и произвольные комплексные значения. В следующей таблице приведены несколько частных случаев этих многочленов Стирлинга для первых нескольких..
п | σ n ( х ) |
---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
Производящие функции
Этот вариант полиномиальной последовательности Стирлинга имеет особенно хорошие обычные производящие функции следующих форм:
В более общем смысле, если степенной ряд, удовлетворяющий у нас есть это
У нас также есть тождество родственной серии [6]
и производящие функции, связанные с полиномом Стирлинга (Шеффера), заданные формулой
Свойства и отношения
Для целых чисел а также , эти многочлены удовлетворяют двум формулам свертки Стирлинга, заданным формулами
а также
Когда , мы также имеем, что многочлены, , определяются через их отношения к числам Стирлинга
и их отношения к числам Бернулли, заданным формулой