В дифференциальной топологии , разделе математики , стратифолд - это обобщение дифференцируемого многообразия, в котором допускаются определенные виды особенностей . В частности, стратифолд расслаивается на дифференцируемые многообразия (возможно) различных размерностей. Стратифолды можно использовать для построения новых теорий гомологии . Например, они предоставляют новую геометрическую модель для обычных гомологий. Концепция стратифолдов была изобретена Маттиасом Креком . Основная идея аналогична идее топологически стратифицированного пространства , но адаптирована к дифференциальной топологии.
Определения
Прежде чем мы перейдем к стратифолдам, мы определим предварительное понятие, которое отражает минимальное понятие гладкой структуры в пространстве: дифференциальное пространство (в смысле Сикорского) - это пара ( X , C ), где X - топологическое пространство а C - подалгебра непрерывных функцийтакая, что функция находится в C, если она локально в C и находится в C для гладкий и . Простой пример берет в качестве X гладкое многообразие, а в качестве C - только гладкие функции.
Для общего дифференциального пространства ( X , C ) и точки x в X мы можем определить, как в случае многообразий, касательное пространство как векторное пространство всех производных ростков функций в точке x . Определить страты имеет измерение i. Для n -мерного многообразия M имеема все остальные слои пусты. Теперь мы готовы к определению стратифолда, в котором несколько слоев могут быть непустыми:
К - мерное stratifold представляет собой дифференциальное пространство ( S , С ), где S является локально компактным хаусдорфовым пространством со счетной базой топологии. Все скелеты должны быть закрыты. Кроме того, мы предполагаем:
- В являются i -мерными гладкими многообразиями.
- Для всех х в S , ограничение определяет изоморфизм из стеблей .
- Все касательные пространства имеют размерность ≤ k .
- Для каждого х в S и любой окрестности U от х , существует функция с участием а также (функция удара).
П - мерный stratifold называется ориентированным , если его ( п - 1) -stratum пуст , и его верхний слой ориентирован. Можно также определить стратифолды с краем, так называемые c-стратифолды . Один определяет их как пару топологических пространств таких, что является n -мерным стратифолдом иявляется ( n - 1) -мерным стратифолдом вместе с классом эквивалентности воротников .
Важным подклассом стратифолдов являются регулярные стратифолды, которые можно примерно охарактеризовать как локально смотрящие вокруг точки в i -страте, например, i -страта, умноженная на ( n - i ) -мерное стратифолд. Это условие выполняется в большинстве случаев стратифолда.
Примеры
Примеров стратифолдов предостаточно. Первый пример , чтобы рассмотреть открытый конус над многообразием М . Мы определяем непрерывную функцию от S до вещественных чисел как находящуюся в C тогда и только тогда, когда она гладкая на M × (0, 1) и локально постоянна вокруг точки конуса. Последнее условие автоматически согласно пункту 2 в определении стратифолда. В этой конструкции мы можем заменить M на стратифолд S. Конус ориентирован тогда и только тогда, когда S ориентирован, а не нульмерен. Если мы рассмотрим (замкнутый) конус снизу, мы получаем stratifold с границей S .
Другими примерами стратифолдов являются одноточечные компактификации и надстройки многообразий, (вещественные) алгебраические многообразия только с изолированными особенностями и (конечные) симплициальные комплексы.
Теории бордизма
В этом разделе мы будем предполагать, что все стратифолды регулярны. Мы называем две картыот двух ориентированных компактных K - мерных stratifolds в пространстве X бордантный , если существует ориентированный ( к + 1) -мерному компактному stratifold T с границей S + (- S «) таким образом, что отображение на X продолжается до Т . Множество классов эквивалентности таких отображений обозначается . Множества фактически имеют структуру абелевых групп с несвязным объединением в качестве сложения. Можно разработать достаточно дифференциальную топологию стратифолдов, чтобы показать, что они определяют теорию гомологий . Четко,при k > 0, поскольку каждое ориентированное стратифолд S является границей своего конуса, который ориентирован, если dim ( S )> 0. Можно показать, что. Следовательно, по теореме единственности Эйленберга – Стинродадля любого пространства X, гомотопически эквивалентного CW-комплексу , где H обозначает особые гомологии . Для других пространств эти две теории гомологии могут не быть изоморфными (например, одноточечная компактификация поверхности бесконечного рода).
Существует также простой способ определить эквивариантные гомологии с помощью стратифолдов. Пусть G - компактная группа Ли . Затем мы можем определить теорию бордизмов стратифолдов, отображаемых в пространство X с G- действием, точно так же, как указано выше, с той лишь разницей, что мы требуем, чтобы все стратифолды были снабжены сохраняющим ориентацию свободным G- действием, а все отображения были G-эквивариантными. Обозначим черезклассы бордизма. Можно доказать для любой X гомотопии, эквивалентной CW-комплексу.
Связь с теорией родов
Род представляет собой кольцевой гомоморфизм из кольца бордизмов в другое кольцо. Например, эйлерова характеристика определяет гомоморфизм колециз кольца неориентированных бордизмов, а сигнатура определяет гомоморфизм колециз кольца ориентированных бордизмов . Здесь t имеет в первом случае степень 1, а во втором - степень 4 , поскольку только многообразия размерностей, кратных 4, могут иметь ненулевую сигнатуру. Левые части этих гомоморфизмов являются теориями гомологий, оцениваемыми в точке. С помощью стратифолдов можно построить теории гомологий так, чтобы правые части были этими теориями гомологий, вычисленными в точке, гомологиями Эйлера и гомологиями Хирцебруха соответственно.
Карты Умкера
Предположим, имеется замкнутое вложение многообразий с ориентированным нормальным расслоением. Тогда можно определить карту умкера . Одна из возможностей - использовать стратифолд: представить класс стратифолдом . Затем сделайте ƒ трансверсальную N . Пересечение S и N определяет новое стратифолд S 'с отображением в N , которое представляет класс в. Эту конструкцию можно повторить в контексте вложения гильбертовых многообразий конечной коразмерности, которое можно использовать в строковой топологии .
Рекомендации
- М. Крек, Дифференциальная алгебраическая топология: от стратифолдов к экзотическим сферам , AMS (2010), ISBN 0-8218-4898-4
- Страничная страница
- Гомологии Эйлера