В гидродинамике течение Тейлора – Куэтта состоит из вязкой жидкости, заключенной в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами. Для малых угловых скоростей, измеряемых числом Рейнольдса Re , течение является устойчивым и чисто азимутальным . Это основное состояние известно как круговое течение Куэтта в честь Мориса Мари Альфреда Куэтта , который использовал это экспериментальное устройство как средство измерения вязкости . Сэр Джеффри Ингрэм Тейлор исследовал стабильность течения Куэтта в новаторской работе. [1] Работа Тейлора стала краеугольным камнем в развитиитеория гидродинамической устойчивости и продемонстрировала, что условие прилипания , которое в то время оспаривалось научным сообществом, было правильным граничным условием для вязких течений на твердой границе.
Тейлор показал, что когда угловая скорость внутреннего цилиндра увеличивается выше определенного порога, течение Куэтта становится нестабильным и возникает вторичное установившееся состояние, характеризующееся осесимметричными тороидальными вихрями, известным как вихревой поток Тейлора . Впоследствии, при увеличении угловой скорости цилиндра, система претерпевает прогрессию неустойчивостей, которые приводят к состояниям с большей пространственно-временной сложностью, при этом следующее состояние называется волнообразным вихревым потоком . Если два цилиндра вращаются в противоположных направлениях, возникает спиральный вихревой поток . За пределами определенного числа Рейнольдса начинается турбулентность .
Круговой поток Куэтта находит широкое применение от опреснения до магнитогидродинамики, а также в вискозиметрическом анализе. Различные режимы потока были классифицированы на протяжении многих лет, включая закрученные вихри Тейлора и волнистые границы истечения. Это хорошо изученный и задокументированный поток в гидродинамике. [2]
Описание потока
Простое течение Тейлора – Куэтта - это устойчивый поток, создаваемый между двумя вращающимися бесконечно длинными соосными цилиндрами. [3] Поскольку длина цилиндра бесконечно велика, поток в установившемся режиме по существу является однонаправленным. Если внутренний цилиндр с радиусом вращается с постоянной угловой скоростью и внешний цилиндр радиусом вращается с постоянной угловой скоростью как показано на рисунке, тогда составляющая азимутальной скорости определяется выражением [4]
где
- .
Критерий Рэлея [5]
Лорд Рэлей [6] [7] исследовал устойчивость задачи с невязким предположением, т. Е. Возмущающими уравнениями Эйлера . Критерий утверждает, что при отсутствии вязкости необходимое и достаточное условие распределения азимутальной скорости быть стабильным
везде в интервале; и, кроме того, что распределение неустойчиво, еслидолжно уменьшаться в любом месте интервала. Спредставляет угловой момент на единицу массы жидкого элемента вокруг оси вращения, альтернативный способ сформулировать критерий таков: стратификация углового момента вокруг оси устойчива, если и только если она монотонно увеличивается наружу.
Вихрь Тейлора
Вихри Тейлора (также названные в честь сэра Джеффри Ингрэма Тейлора ) - это вихри, образующиеся во вращающемся потоке Тейлора – Куэтта, когда число Тейлора () потока превышает критическое значение .
Для потока, в котором
неустойчивости в потоке нет, т. е. возмущения потока гасятся вязкими силами, и течение является стационарным. Но, как превышает появляются осесимметричные неустойчивости. Природа этих нестабильностей - это обмен устойчивости (а не сверхстабильность), и результатом является не турбулентность, а скорее стабильная вторичная структура потока, которая возникает, в которой в потоке образуются большие тороидальные вихри, накладываемые друг на друга. . Это вихри Тейлора. В то время как гидравлическая механика исходного потока неустойчива, когда, новый поток, называемый потоком Тейлора – Куэтта , с присутствующими вихрями Тейлора, фактически является устойчивым до тех пор, пока поток не достигнет большого числа Рейнольдса , после чего поток переходит в нестационарный «волнообразный вихревой» поток, предположительно указывающий на наличие нестационарных потоков. осесимметричные неустойчивости.
Идеализированная математическая задача ставится путем выбора конкретного значения , , а также . В виде а также снизу критическое число Тейлора равно [4] [8] [9] [10] [11]
Круговой эксперимент Голлуба – Суинни Куэтта
В 1975 г. Дж. П. Голлуб и Х. Л. Суинни опубликовали статью о возникновении турбулентности во вращающейся жидкости. В системе потока Тейлора – Куэтта они заметили, что по мере увеличения скорости вращения жидкость расслаивается и образует кучу «жидких пончиков». При дальнейшем увеличении скорости вращения пончики колеблются и скручиваются и, наконец, становятся турбулентными. [12] Их исследование помогло установить сценарий Рюэля – Такенса в турбулентности [13], который является важным вкладом Флориса Такенса и Дэвида Рюэля в понимание того, как гидродинамические системы переходят от стабильных режимов течения к турбулентным. Хотя основным определяющим фактором для этого перехода является число Рейнольдса , существуют и другие важные влияющие факторы: открыт ли поток (то есть имеется боковой поток вверх и вниз по потоку) или закрыт (поток ограничен в боковом направлении; например, вращающийся), и ограниченный (зависит от эффектов стены) или неограниченный (не зависит от эффектов стены). Согласно этой классификации течение Тейлора – Куэтта является примером структуры потока, формирующейся в замкнутой системе с ограниченными потоками.
Рекомендации
- ^ Тейлор, Джеффри I. (1923). «Устойчивость вязкой жидкости, заключенной между двумя вращающимися цилиндрами» . Философские труды Лондонского королевского общества . Серия A, содержащая статьи математического или физического характера. 223 (605–615): 289–343. Bibcode : 1923RSPTA.223..289T . DOI : 10,1098 / rsta.1923.0008 . JSTOR 91148 .
- ^ Андерек, CD ; Лю, СС; Суинни, HL (1986). «Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами». Журнал гидромеханики . 164 : 155–183. Bibcode : 1986JFM ... 164..155A . DOI : 10.1017 / S0022112086002513 .
- ^ Дразин, Филип Г .; Рид, Уильям Хилл (2004). Гидродинамическая устойчивость . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-52541-1.
- ^ а б Дэйви (1962). «Рост вихрей Тейлора в потоке между вращающимися цилиндрами». Журнал гидромеханики . 14 (3): 336–368. DOI : 10.1017 / S0022112062001287 .
- ^ Чандрасекар, Субраманян. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Курьерская корпорация, 2013 г.
- ↑ Рэлей, лорд. «Об устойчивости или нестабильности определенных движений жидкости. Научные статьи, 3.» (1880): 594-596.
- ↑ Рэлей, лорд. «О динамике вращающихся жидкостей». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащие статьи математического и физического характера 93.648 (1917): 148-154.
- ^ Weisberg, AY; Кеврекидис И.Г . ; Смитс, AJ (1997). «Запаздывающий переход в потоке Тейлора – Куэтта с осевым движением внутреннего цилиндра». Журнал гидромеханики . 348 : 141–151. DOI : 10.1017 / S0022112097006630 .
- ^ Такеда, Ю. (1999). «Квазипериодическое состояние и переход к турбулентности во вращающейся системе Куэтта». Журнал гидромеханики . 389 (1): 81–99. Bibcode : 1999JFM ... 389 ... 81T . DOI : 10.1017 / S0022112099005091 .
- ^ Уэрли, ST; Люптоу, RM (1999). «Поле скоростей течения Тейлора – Куэтта с осевым потоком». Физика жидкостей . 11 (12): 3637–3649. Bibcode : 1999PhFl ... 11.3637W . DOI : 10.1063 / 1.870228 .
- ^ Marques, F .; Лопес, Дж. М.; Шен, Дж. (2001). «Периодически принудительный поток, демонстрирующий нарушение симметрии через бифуркацию склейки с тремя ториями и резонансы с двумя ториями». Physica D: нелинейные явления . 156 (1-2): 81–97. Bibcode : 2001PhyD..156 ... 81M . CiteSeerX 10.1.1.23.8712 . DOI : 10.1016 / S0167-2789 (01) 00261-5 .
- ^ Gollub, JP; Суинни, HL (1975). «Возникновение турбулентности во вращающейся жидкости» . Письма с физическим обзором . 35 (14): 927–930. Bibcode : 1975PhRvL..35..927G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.35.927 .
- ^ Гукенхаймер, Джон (1983). «Странные аттракторы в гидродинамике». Динамическая система и хаос . Конспект лекций по физике. 179 . Springer Berlin. С. 149–156. DOI : 10.1007 / 3-540-12276-1_10 . ISBN 978-3-540-12276-0.
дальнейшее чтение
- Chossat, P .; Йосс, Г. (1992). Проблема Куэтта – Тейлора . Прикладные математические науки. 102 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4300-7 . ISBN 978-0387941547.
- Кошмидер, Э.Л. (1993). Ячейки Бенара и вихри Тейлора . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40204-0.