В исчислении , разделе математики , третья производная - это скорость, с которой изменяется вторая производная , или скорость изменения скорости изменения. Третья производная функции можно обозначить как
Могут использоваться и другие обозначения, но приведенные выше являются наиболее распространенными.
Математические определения
Позволять . потом а также . Следовательно, третья производная от f в этом случае равна
или, используя обозначения Лейбница ,
Теперь для более общего определения. Пусть f - любая функция от x такая, что f ′ ′ дифференцируема . Тогда третья производная от f определяется выражением
Третья производная - это скорость, с которой изменяется вторая производная ( f ′ ′ ( x )).
Приложения в геометрии
В дифференциальной геометрии , то кручение кривой - фундаментальное свойство кривых в трех измерениях - вычисляется с использованием третьих производных координатных функций (или вектором) , описывающих кривую. [1]
Приложения в физике
В физике , особенно в кинематике , рывок определяется как третья производная функции положения объекта. По сути, это скорость, с которой изменяется ускорение . С математической точки зрения:
где j ( t ) - функция рывка по времени, а r ( t ) - функция положения объекта относительно времени.
Экономический пример
Во время кампании за второй срок президент США Ричард Никсон объявил, что темпы роста инфляции снижаются, что было отмечено как «первый раз, когда действующий президент использовал третью производную для продвижения своих аргументов в пользу переизбрания». [2] Поскольку инфляция сама по себе является производной - скоростью, с которой снижается покупательная способность денег, - то скорость роста инфляции является производной инфляции, противоположной по знаку второй производной по времени покупательной способности денег. Заявление о том, что функция убывает , эквивалентно заявлению о том, что ее производная отрицательна, поэтому утверждение Никсона состоит в том, что вторая производная инфляции отрицательна, а третья производная покупательной способности положительна.
Однако заявление Никсона позволило повысить уровень инфляции, поэтому его заявление не было таким показателем стабильности цен, как кажется.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . ISBN 0-13-212589-7.
- ^ Росси, Хьюго (октябрь 1996). «Математика - это здание, а не набор инструментов» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 43 (10): 1108 . Проверено 13 ноября 2012 года .