В математике , А монотонная функция (или монотонная функция ) является функцией от упорядоченных множеств , что сохраняет или реверсирует данный порядок . [1] [2] [3] Эта концепция впервые возникла в исчислении , а затем была обобщена на более абстрактные условия теории порядка .
Монотонность в исчислении и анализе
В исчислении функцияопределенная на подмножестве из действительных чисел с реальными значениями называется монотонной , если и только если оно либо полностью не возрастает, либо полностью не убывает. [2] То есть, как показано на рис. 1, функция, которая монотонно увеличивается, не обязательно должна увеличиваться исключительно, она просто не должна уменьшаться.
Функция называется монотонно возрастающей (также возрастающей или неубывающей [3] ), если для всех а также такой, что надо , так сохраняет порядок (см. рисунок 1). Точно так же функция называется монотонно убывающей (также убывающей или невозрастающей [3] ), если и когда, тогда , поэтому он меняет порядок (см. рисунок 2).
Если заказ в определении монотонности заменяется строгим порядком , то получается более сильное требование. Функция с этим свойством называется строго возрастающей . [3] Опять же, инвертируя символ порядка, можно найти соответствующее понятие, называемое строго убывающим . [3] Функцию можно назвать строго монотонной, если она либо строго возрастает, либо строго убывает. Строго монотонные функции взаимно однозначны (поскольку для не равно , либо или же так что по монотонности либо или же , таким образом .)
Если неясно, что «увеличение» и «уменьшение» включают возможность повторения одного и того же значения при последовательных аргументах, можно использовать термины « слабо монотонный» , « слабо увеличивающийся» и « слабо убывающий», чтобы подчеркнуть эту возможность.
Термины «неуменьшение» и «неувеличение» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшается» и «не увеличивается». Например, функция на фиг.3 сначала падает, затем возрастает, а затем снова падает. Следовательно, он не убывает и не увеличивается, но и не не убывает, и не увеличивается.
Функция называется абсолютно монотонным на интервале если производные всех порядков являются неотрицательно или все неположительны во всех точках интервала.
Обратная функция
Функция, которая является монотонной, но не строго монотонной и, следовательно, постоянной на интервале, не имеет обратного. Это связано с тем, что для того, чтобы функция имела инверсию, необходимо взаимно однозначное отображение диапазона в домен функции. Поскольку у монотонной функции есть некоторые значения, которые являются постоянными в ее области, это означает, что в диапазоне, который отображается на это постоянное значение, может быть более одного значения.
Однако функция y = g ( x ), которая является строго монотонной, имеет обратную функцию, такую что x = h ( y ), потому что всегда гарантируется взаимно-однозначное отображение диапазона в область определения функции. Кроме того, можно сказать, что функция строго монотонна для диапазона значений и, таким образом, имеет инверсию для этого диапазона значений. Например, если y = g ( x ) строго монотонен в диапазоне [ a , b ], то он имеет обратный x = h ( y ) в диапазоне [ g ( a ), g ( b )], но мы не могу сказать, что весь диапазон функции имеет инверсию.
Обратите внимание, какие учебники [ какие? ] ошибочно заявляют, что обратное существует для монотонной функции, когда на самом деле они означают, что обратное существует для строго монотонной функции.
Монотонное преобразование
Термин монотонное преобразование (или монотонное преобразование ) также может вызвать некоторую путаницу, поскольку он относится к преобразованию с помощью строго возрастающей функции. Так обстоит дело в экономике в отношении порядковых свойств функции полезности , сохраняемых при монотонном преобразовании (см. Также монотонные предпочтения ). [4] В этом контексте то, что мы называем «монотонным преобразованием», точнее, называется «положительным монотонным преобразованием», чтобы отличить его от «отрицательного монотонного преобразования», которое меняет порядок чисел на обратный. [5]
Некоторые основные приложения и результаты
Для монотонной функции верны следующие свойства :
- имеет пределы справа и слева в каждой точке своей области ;
- имеет предел в положительной или отрицательной бесконечности ( ) либо действительного числа, , или же .
- может иметь только скачкообразные разрывы ;
- может иметь только счетное количество разрывов в своей области. Однако разрывы не обязательно состоят из изолированных точек и даже могут быть плотными в интервале ( a , b ).
Эти свойства являются причиной того, почему монотонные функции полезны в технической работе по анализу . Еще несколько фактов об этих функциях:
- если - монотонная функция, определенная на интервале , тогда является дифференцируемой почти всюду на, т.е. набор чисел в такой, что не дифференцируется в имеет нулевую меру Лебега . Кроме того, этот результат нельзя улучшить до счетного: см. Функцию Кантора .
- если это множество счетно, то абсолютно непрерывно.
- если - монотонная функция, определенная на интервале , тогда является Риман .
Важное применение монотонных функций - теория вероятностей . Если- случайная величина , ее кумулятивная функция распределения - монотонно возрастающая функция.
Функция является унимодальной, если она монотонно возрастает до некоторой точки ( мода ), а затем монотонно убывает.
Когда - строго монотонная функция, тоявляется инъективным на своей области, и еслиявляется диапазон от, То существует обратная функция на для . Напротив, каждая постоянная функция является монотонной, но не инъективной [6] и, следовательно, не может иметь обратной.
Монотонность в топологии
Карта называется монотонным, если каждое из его волокон связно, т.е. для каждого элемента в (возможно, пустой) набор подключен.
Монотонность в функциональном анализе
В функциональном анализе на топологическом векторном пространстве , (возможно, нелинейный) оператор называется монотонным оператором, если
Теорема Качуровского показывает, что выпуклые функции на банаховых пространствах имеют монотонные операторы в качестве производных.
Подмножество из называется монотонным множеством, если для каждой пары а также в ,
называется максимальной монотонностью, если она максимальна среди всех монотонных множеств в смысле включения множеств. График монотонного оператораявляется монотонным множеством. Монотонный оператор называется максимально монотонным, если его график является максимальным монотонным множеством .
Монотонность в теории порядка
Теория порядка имеет дело с произвольными частично упорядоченными наборами и предварительно упорядоченными наборами как обобщением действительных чисел. Приведенное выше определение монотонности актуально и в этих случаях. Однако термины «увеличивающийся» и «убывающий» избегаются, поскольку их обычное графическое представление не применимо к заказам, которые не являются полными . Кроме того, строгие отношения <и> мало используются во многих неполных порядках, и поэтому для них не вводится дополнительная терминология.
Обозначение ≤ обозначает отношение частичного порядка любого частично упорядоченного множества, монотонную функцию, также называемую изотонной , илисохраняющий порядок , удовлетворяет свойству
- x ≤ y влечет f ( x ) ≤ f ( y ),
для всех x и y в своей области. Композиция двух монотонных отображений также монотонна.
Двойное понятие часто называют антитонен , анти-монотонной , или порядок реверсирования . Следовательно, антитонная функция f удовлетворяет свойству
- x ≤ y влечет f ( y ) ≤ f ( x ),
для всех x и y в своей области.
Функция постоянной одновременно монотонно и антитонен; наоборот, если f является одновременно монотонным и антитонным, и если область определения f является решеткой , то f должно быть постоянным.
Монотонные функции занимают центральное место в теории порядка. Они появляются в большинстве статей по данной теме, и в этих местах можно найти примеры из специальных приложений. Некоторые известные специальные монотонные функции - это порядковые вложения (функции, для которых x ≤ y, если и только если f ( x ) ≤ f ( y )) и порядковые изоморфизмы ( сюръективные порядковые вложения).
Монотонность в контексте поисковых алгоритмов
В контексте алгоритмов поиска монотонность (также называемая согласованностью) - это условие, применяемое к эвристическим функциям . Эвристика h (n) является монотонной, если для каждого узла n и каждого последователя n ' из n, порожденного любым действием a , оценочная стоимость достижения цели из n не превышает стоимость шага перехода к n' плюс стоимость ориентировочная стоимость достижения цели от n ' ,
Это форма неравенства треугольника с n , n ' и целью G n, ближайшей к n . Поскольку любая монотонная эвристика также допустима , монотонность является более строгим требованием, чем допустимость. Некоторые эвристические алгоритмы, такие как A *, могут быть признаны оптимальными при условии, что эвристика, которую они используют, является монотонной. [7]
Логические функции
В булевой алгебре монотонная функция - это такая функция, что для всех a i и b i в {0,1}, если a 1 ≤ b 1 , a 2 ≤ b 2 , ..., a n ≤ b n (т. Е. Декартово произведение {0, 1} n упорядочено покоординатно ), тогда f ( a 1 , ..., a n ) ≤ f ( b 1 , ..., b n ). Другими словами, логическая функция является монотонной, если для каждой комбинации входов переключение одного из входов с false на true может привести только к переключению выхода с false на true, а не с true на false. Графически это означает, что n- мерная логическая функция является монотонной, когда ее представление в виде n -куба, помеченного значениями истинности, не имеет восходящего края от истины до ложи . (Этот меченный диаграмма , Хасса является двойным меченой функцией в диаграмме Венны , которая является более общим представлением для п ≤ 3 ) .
Монотонные логические функции - это как раз те, которые могут быть определены выражением, объединяющим входные данные (которые могут появляться более одного раза) с использованием только операторов и и или (в частности, не запрещено). Например, «по крайней мере два из a , b , c имеют место» является монотонной функцией от a , b , c , так как это может быть записано, например, как (( a и b ) или ( a и c ) или ( b и c) )).
Количество таких функций от n переменных известно как число Дедекинда для n .
Смотрите также
- Монотонная кубическая интерполяция
- Псевдомонотонный оператор
- Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - мера монотонности в наборе данных
- Полная монотонность
- Циклическая монотонность
Заметки
- ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Оксфордский краткий математический словарь (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
- ^ а б Стовер, Кристофер. «Монотонная функция» . Wolfram MathWorld . Проверено 29 января 2018 .
- ^ а б в г д «Монотонная функция» . Энциклопедия математики . Проверено 29 января 2018 .
- ^ См. Раздел Кардинальная и порядковая полезность в Simon & Blume (1994) .
- ^ Вариан, Хэл Р. (2010). Промежуточная микроэкономика (8-е изд.). WW Norton & Company. п. 56. ISBN 9780393934243.
- ^ если в его домене более одного элемента
- ^ Условия оптимальности: допустимость и последовательность стр. 94-95 ( Рассел и Норвиг, 2010 ).
Библиография
- Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.).
- Гретцер, Джордж (1971). Теория решеток: первые понятия и дистрибутивные решетки . ISBN 0-7167-0442-0.
- Пембертон, Малькольм; Рау, Николай (2001). Математика для экономистов: вводный учебник . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0-7190-3341-1.
- Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN. 0-387-00444-0.
- Рис, Фриджес и Бела Сёкефалви-Надь (1990). Функциональный анализ . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
- Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2010). Искусственный интеллект: современный подход (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
- Саймон, Карл П .; Блюм, Лоуренс (апрель 1994). Математика для экономистов (первое изд.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Определение 9.31)
Внешние ссылки
- "Монотонная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Конвергенция монотонной последовательности Аник Дебнат и Томас Роксло (Школа Харкера), Демонстрационный проект Вольфрама .
- Вайсштейн, Эрик В. «Монотонная функция» . MathWorld .