Дифференцируемая кривая
Дифференциальная геометрия кривых — раздел геометрии , изучающий гладкие кривые на плоскости и в евклидовом пространстве методами дифференциального и интегрального исчисления .
Многие специфические кривые были тщательно исследованы с использованием синтетического подхода . Дифференциальная геометрия идет другим путем: кривые представляются в параметризованном виде , а их геометрические свойства и различные связанные с ними величины, такие как кривизна и длина дуги , выражаются через производные и интегралы с помощью векторного исчисления . Одним из наиболее важных инструментов, используемых для анализа кривой, является рамка Френе , движущаяся система координат, которая обеспечивает систему координат в каждой точке кривой, которая «наиболее адаптирована» к кривой вблизи этой точки.
Теория кривых гораздо проще и уже по объему, чем теория поверхностей и ее многомерные обобщения, потому что правильная кривая в евклидовом пространстве не имеет внутренней геометрии. Любая правильная кривая может быть параметризована длиной дуги ( естественная параметризация ). С точки зрения теоретической точечной частицы на кривой, ничего не знающей об окружающем пространстве, все кривые выглядели бы одинаковыми. Различные пространственные кривые отличаются только тем, как они изгибаются и изгибаются. Количественно это измеряется дифференциально-геометрическими инвариантами, называемыми кривизной и кручением кривой. Основная теорема о кривыхутверждает, что знание этих инвариантов полностью определяет кривую.
то есть r -кратно непрерывно дифференцируема (то есть функции, составляющие γ , непрерывно дифференцируемы), где n ∈ ℕ , r ∈ ℕ ∪ {∞} , а I непустой интервал действительных чисел. Образ параметрической кривой равен γ [ I ] ⊆ ℝ n . Параметрическую кривую γ и ее образ γ [ I ] следует различать, поскольку данное подмножество ℝ nможет быть изображением нескольких различных параметрических кривых. Параметр t в γ ( t ) можно рассматривать как представляющий время, а γ как траекторию движущейся точки в пространстве. Когда I — замкнутый интервал [ a , b ] , γ ( a ) называется начальной точкой, а γ ( b ) — конечной точкой γ . Если начальная и конечная точки совпадают (то есть γ ( a ) = γ ( b )), то γ — замкнутая кривая или петля . Чтобы быть C r -петлей, функция γ должна быть r -кратно непрерывно дифференцируемой и удовлетворять γ ( k ) ( a ) = γ ( k ) ( b ) для 0 ≤ k ≤ r .
является инъективным . Оно аналитическое , если каждая составляющая функция γ является аналитической функцией , т. е. принадлежит классу C ω .
является линейно независимым подмножеством ℝ n . В частности, параметрическая C 1 -кривая γ регулярна тогда и только тогда , когда γ ′( t ) ≠ 0 для любого t ∈ I .
