В исчислении (раздел математики ) дифференцируемая функция одной действительной переменной - это функция, производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет не вертикальную касательную в каждой внутренней точке его области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется как линейная функция в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или излома .
В более общем смысле, для x 0 как внутренней точки в области определения функции f , тогда f называется дифференцируемой в x 0 тогда и только тогда, когда существует производная f '( x 0 ). Другими словами, график f имеет не вертикальную касательную в точке ( x 0 , f ( x 0 )). Функцию f также называют локально линейной в точке x 0, поскольку она хорошо аппроксимируется линейной функцией вблизи этой точки.
Дифференцируемость реальных функций одной переменной [ править ]
Функция , заданная на открытом множестве , дифференцируема в точке, если производная
существует. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке a .
Эта функция F является дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U . В этом случае производная f , таким образом, является функцией от U в
Дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема). Он непрерывно дифференцируем, если его производная также является непрерывной функцией.
Дифференцируемость и преемственность [ править ]
Если f дифференцируема в точке x 0 , то f также должна быть непрерывной в точке x 0 . В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, выступом или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.
Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или почти в каждой точке. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. [1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .
Классы дифференцируемости [ править ]
Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ′ ( x ) существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачкообразного разрыва , производная может иметь существенный разрыв. Например, функция
дифференцируема в 0, так как
существует. Однако при x ≠ 0 из правил дифференцирования следует
который не имеет предела при x → 0. Тем не менее из теоремы Дарбу следует, что производная любой функции удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении .
Иногда говорят, что непрерывно дифференцируемые функции относятся к классу C 1 . Функция относится к классу C 2, если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле, функция называется классом C k, если все первые k производных f ′ ( x ), f ′ ′ ( x ), ..., f ( k ) ( x ) существуют и непрерывны. Если производные f ( n )существуют для всех натуральных чисел n , функция гладкая или, что то же самое, класса C ∞ .
Различимость в высших измерениях [ править ]
Функцией нескольких действительных переменных F : R м → R п называется дифференцируемой в точке х 0 , если существует в линейное отображение J : R м → R п такое , что
Если функция дифференцируема в точке x 0 , то все частные производные существуют в точке x 0 , и линейное отображение J задается матрицей Якоби . Аналогичная формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой об инкрементах, найденной в исчислении одной переменной.
Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x 0 и непрерывны в точке x 0 , то функция дифференцируема в этой точке x 0 .
Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлениям ) в общем случае не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R 2 → R, определенная формулой
не дифференцируема в (0, 0) , но все частные производные и производные по направлениям существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция
не дифференцируема в (0, 0) , но опять же все частные производные и производные по направлениям существуют.
Дифференцируемость в комплексном анализе [ править ]
В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и вещественные функции с одной переменной. Это допускается возможностью деления комплексных чисел. Итак, функция называется дифференцируемой в точке, когда
Хотя это определение похоже на дифференцируемость вещественных функций с одной переменной, это, тем не менее, более ограничительное условие. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в точке , автоматически становится дифференцируемой в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это потому, что из комплексной дифференцируемости следует, что
Однако функция может быть дифференцируемой как функция с несколькими переменными, но не комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как вещественная функция с двумя переменными , но она не является комплексно-дифференцируемой в любой точке.
Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .
Дифференцируемые функции на многообразиях [ править ]
Если M - дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . В более общем смысле, если M и N - дифференцируемые многообразия, функция f : M → N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).
См. Также [ править ]
- Обобщения производной
- Полудифференцируемость
- Дифференцируемое программирование
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Цитируется Hewitt, E; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag. Теорема 17.8.