Тригонометрический полином

---

В математических подобластях численного анализа и математического анализа тригонометрический полином представляет собой конечную линейную комбинацию функций sin( nx ) и cos( nx ), где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел . Коэффициенты могут быть взяты как действительные числа для функций с действительными значениями. Для комплексных коэффициентов нет никакой разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции , применяемой для интерполяции периодических функций . Они используются также в дискретном преобразовании Фурье .

Термин тригонометрический полином для случая с действительным знаком можно рассматривать как использующий аналогию : функции sin( nx ) и cos( nx ) подобны мономиальному базису для многочленов . В комплексном случае тригонометрические полиномы натянуты на положительные и отрицательные степени e ^ix .

с при , называется комплексным тригонометрическим полиномом степени N ( Рудин 1987 , с. 88). Используя формулу Эйлера, многочлен можно переписать как${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq N \ Leq N}$

Аналогично, если и или , то${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}, \ quad 0 \ leq n \ leq N}$${\ Displaystyle а_ {N} \ neq 0}$${\ Displaystyle b_ {N} \ neq 0}$

Тригонометрический полином можно рассматривать как периодическую функцию на действительной линии с периодом , кратным 2 π , или как функцию на единичной окружности .

---