В математике, рода г поверхность (также известная как г -тор или г -holed тор ) представляет собой поверхность , образованная связной суммой из г многих торов : внутренняя часть диска удаляются из каждых из г многих торов и границ из г идентифицированы много дисков (склеено), образуя г -тор. Род такой поверхности г .
Поверхность рода g - это двумерное многообразие . Теорема классификации поверхностей состояний, каждое компактное связано двумерное многообразие является гомеоморфно либо сфере, подсоединенного сумме торов, либо связной суммы вещественных проективных плоскостей .
Определение рода [ править ]
Род связной ориентируемой поверхности - это целое число, представляющее максимальное количество разрезов вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых без отключения результирующего многообразия . [1] Равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2–2 g для замкнутых поверхностей , где g - род.
Род (иногда называемый полушарием или родом Эйлера) связной неориентируемой замкнутой поверхности - это положительное целое число, представляющее количество крестовин, прикрепленных к сфере. В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 - g , где g - неориентируемый род.
Род 0 [ править ]
Ориентируемая поверхность рода нуль является сфера S 2 . Неориентируемая поверхность рода нуль - это диск .
- Представления поверхностей рода 0
Сфера
Замкнутый диск (с краем)
Род 1 [ править ]
Ориентируемая поверхность рода один - это обычный тор. Неориентируемая поверхность рода один - проективная плоскость . [2]
Эллиптические кривые над комплексными числами можно отождествить с поверхностями рода 1. Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом следует из свойства эллиптических функций Вейерштрасса, которое позволяет получать эллиптические кривые из отношения комплексной плоскости по решетке . [3]
- Представления поверхностей рода 1
Тор рода 1
Эллиптическая кривая
Род 2 [ править ]
Термин двойной тор иногда используется для обозначения поверхностей рода 2. [4] Неориентируемая поверхность второго рода - это бутылка Клейна .
Поверхность Больца является наиболее симметричная риманова поверхность из рода 2, в том смысле , что она имеет наибольшую возможную конформной группы автоморфизмов . [5]
- Представления поверхностей рода 2
Тор рода 2
Род 3 [ править ]
Термин тройной тор также иногда используется для обозначения поверхностей рода 3. [6]
Квартик Клейна представляет собой компактный риманов поверхность из рода 3 с максимально возможной порядок группой автоморфизмов для компактных римановой поверхности рода 3. Это именно порядка 168 сохраняющей ориентацию автоморфизмов и 336 автоморфизмов , если ориентация может быть отменена.
- Несколько поверхностей рода 3
Сфера с тремя ручками
Связная сумма трех торов
Тройной тор
Додекагон с обозначенными противоположными краями [7]
Тетрадекагон с обозначенными противоположными краями [7]
См. Также [ править ]
- Трехмерный тор
- g-торический узел
Ссылки [ править ]
- ^ Мункрес, Джеймс Р. Топология. Vol. 2. Верхняя Сэдл Ривер: Прентис Холл, 2000.
- ^ Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
- ^ Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для выпускников по математике. 106 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойной тор» . MathWorld .
- ^ Больца, Oskar (1887), "О бинарных секстики с линейными преобразованиями в себя", Американский журнал математики , 10 (1): 47-70, DOI : 10,2307 / 2369402 , JSTOR 2369402
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Тройной Тор" . MathWorld .
- ^ a b Юрген Йост, (1997) «Компактные римановы поверхности: введение в современную математику», Springer
Источники [ править ]
- Джеймс Р. Манкрес, Топология, второе издание , Прентис-Холл, 2000, ISBN 0-13-181629-2 .
- Уильям С. Мэсси, Алгебраическая топология: введение , Harbrace, 1967.