Ведический квадрат

В индийской математике , А ведическая квадрат представляет собой вариация на типичную 9 × 9 таблицы умножения , где запись в каждой ячейке является цифровым корнем продукта из заголовков столбцов и строк т.е. остальное , когда продукт из заголовков строк и столбцов является делится на 9 (остаток 0 представлен 9). На ведической площади можно наблюдать многочисленные геометрические узоры и симметрии , некоторые из которых можно найти в традиционном исламском искусстве .

Выделение определенных чисел в ведическом квадрате показывает различные формы, каждая из которых обладает некоторой формой симметрии отражения .

${\ displaystyle \ circ}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Алгебраические свойства [ править ]

Ведический квадрат можно рассматривать как таблицу умножения моноида, где - множество положительных целых чисел, разделенных классами вычетов по модулю девять. (оператор относится к абстрактному «умножению» между элементами этого моноида).${\ Displaystyle ((\ mathbb {Z} / 9 \ mathbb {Z}) ^ {\ times}, \ {1, \ circ \})}$${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \circ }$

Если элементы then могут быть определены как , где элемент 9 представляет класс остатка 0, а не традиционный выбор 0.${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$

Это не образует группу, потому что не каждый ненулевой элемент имеет соответствующий обратный элемент ; например но нет такого что .${\displaystyle 6\circ 3=9}$${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$${\displaystyle 9\circ a=6.}$

Свойства подмножеств [ править ]

Подмножество образует циклическую группу с 2 в качестве одного выбора генератора - это группа мультипликативных единиц в кольце . Каждый столбец и строка содержат все шесть чисел - так что это подмножество образует латинский квадрат .${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

От двух измерений к трехмерным [ править ]

Ведический куб определяется как расположение каждого цифрового корня в трехмерной таблице умножения . ^[1]

Ведические квадраты в высшей системе счисления [ править ]

Ведический квадрат в основании 100 (слева) и 1000 (справа)

Ведические квадраты с более высоким основанием (или основанием числа) могут быть вычислены для анализа возникающих симметричных паттернов. Используя вычисление выше, . Изображения в этом разделе имеют цветовую кодировку, поэтому цифровой корень 1 темный, а цифровой корень (основание 1) светлый.${\displaystyle (a\times b)\mod {({\textrm {base}}-1)}}$

См. Также [ править ]

• Латинский квадрат
• Модульная арифметика
• Моноид

Ссылки [ править ]

• Deskins, WE (1996), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Довер, стр. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Притчард, Крис (2003), Изменяющаяся форма геометрии: празднование столетия геометрии и преподавания геометрии , Великобритания: Cambridge University Press, стр. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ганнам, Талал (2012), Тайна чисел: раскрытие их цифрового корня , CreateSpace Publications, стр. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Текномо, Кади (2005), Цифровой корень: Ведический квадрат
• Чиа-Ю, Линь (2016), Цифровые корневые паттерны трехмерного пространства , журнал Recreational Mathematics Magazine, стр. 9–31, ISSN  2182-1976