Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)

В функциональном анализе и смежных областях математики , множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным или фон Нейман ограничена , если каждая окрестность от нулевого вектора может быть завышена , чтобы включить набор. Неограниченное множество называется неограниченным .

Ограниченные множества - это естественный способ определения локально выпуклых полярных топологий на векторных пространствах в двойственной паре , поскольку поляра ограниченного множества является абсолютно выпуклым и поглощающим множеством . Впервые концепция была представлена Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году.

Определение [ править ]

Обозначение : Для любого множества и скаляра пусть${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle s,}$${\ displaystyle sA: = \ {sa: a \ in A \}.}$

Определение : Учитывая топологическое векторное пространство (ТВС) над полем , подмножество из X , называется фон Неймана ограничена или просто ограничена в X , если любой из следующих эквивалентных условий:${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle B}$

1. для каждой окрестности начала координат существует такое вещественное , что для всех скаляров, удовлетворяющих ; ^[1]${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle B \ substeq sV}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\geq r}$
   • Это определение ввел Джон фон Нейман в 1935 году ^[1].
2. ${\displaystyle B}$будет поглощен каждым окрестности начала координат; ^[2]
3. для каждой окрестности начала координат существует такой скаляр , что ;${\displaystyle V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV}$
4. для каждой окрестности начала координат существует такое вещественное , что для всех скаляров, удовлетворяющих ; ^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle sB\subseteq V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\leq r}$
5. Любое из вышеперечисленных 4 условий, но с заменой слова «окрестность» любым из следующих: « сбалансированная окрестность», «открытая сбалансированная окрестность», «замкнутая сбалансированная окрестность», «открытая окрестность», «закрытая окрестность»;
   • например, Условие 2 может стать: ограниченным тогда и только тогда, когда оно поглощается каждой сбалансированной окрестностью начала координат. ^[1]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$
6. для каждой последовательности скаляров, которая сходится к 0, и каждая последовательность в последовательности сходится к 0 в X ; ^[1]${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left(s_{i}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • Это было определение «ограниченного», которое Андрей Колмогоров использовал в 1934 году, что совпадает с определением, введенным Станиславом Мазуром и Владиславом Орличем в 1933 году для метризуемых TVS. Колмогоров использовал это определение, чтобы доказать, что TVS полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную выпуклую окрестность нуля. ^[1]
7. для каждой последовательности в последовательности в X ; ^[3]${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left({\frac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$
8. каждое счетное подмножество ограничено (согласно любому определяющему условию, кроме этого). ^[1]${\displaystyle B}$

а если X - локально выпуклое пространство, топология которого определяется семейством непрерывных полунорм , то мы можем добавить к этому списку:${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

9. ${\displaystyle p(B)}$ограничен для всех ^[1]${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
10. существует последовательность ненулевых скаляров такая, что каждая последовательность в последовательности ограничена в X (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). ^[1]${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \left(s_{i}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
11. поскольку все ограничено (в соответствии с любым определяющим условием, отличным от этого) в полунормированном пространстве${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$

в то время как если X - полунормированное пространство с полунормой (обратите внимание, что каждое нормированное пространство является полунормированным пространством и каждая норма является полунормой), то мы можем добавить к этому списку:${\displaystyle p}$

12. Существует реальное, что для всех ^[1]${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p(b)\leq r}$${\displaystyle b\in B.}$

в то время как if является векторным подпространством TVS X, мы можем добавить к этому списку:${\displaystyle B}$

13. ${\displaystyle B}$содержится в замыкании ^[1]${\displaystyle \{0\}.}$

Неограниченное подмножество называется неограниченным .

Борнология и фундаментальные системы ограниченных множеств [ править ]

Совокупность всех ограниченных множеств на топологическом векторном пространстве X называется борнология фон Неймана или ( канонический ) борнология из X .

Базовый или фундаментальная система ограниченных множеств из X представляет собой набор ограниченных подмножеств X таким образом, что каждое ограниченное подмножество X является подмножеством некоторых ^[1] Множество всех ограниченных подмножеств X тривиальным образует фундаментальную систему ограниченных множеств X .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Примеры [ править ]

В любой локально выпуклой TVS множество замкнутых и ограниченных дисков является базой ограниченного множества. ^[1]

Свойства стабильности [ править ]

Пусть X - любое топологическое векторное пространство (TVS) (не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое).

• В любом TVS конечные объединения, конечные суммы, скалярные кратные, подмножества, замыкания, внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены. ^[1]
• В любой локально выпуклой TVS выпуклая оболочка ограниченного множества снова ограничена. Это может не быть правдой, если пространство не является локально выпуклым. ^[1]
• Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении является ограниченным подмножеством области. ^[1]
• Подмножество произвольного произведения TVS ограничено тогда и только тогда, когда все его проекции ограничены.
• Если М является векторным подпространством TVS X и если S ⊆ M , то S ограничена в М тогда и только тогда , когда оно ограничено в X . ^[1]

Примеры и достаточные условия [ править ]

• В любом топологическом векторном пространстве (TVS) конечные множества ограничены. ^[1]
• Всякое вполне ограниченное подмножество TVS ограничено. ^[1]
• Каждый относительно компактный набор в топологическом векторном пространстве ограничен. Если пространство оснащено слабой топологией, верно и обратное.
• Множество точек последовательности Коши ограничено, множество точек Коши чистой потребности не могут быть ограничены.
• В любой TVS каждое подмножество замыкания {0 } ограничено.

Не примеры [ править ]

• В любой TVS любое векторное подпространство, не содержащееся в замыкании {0 }, не ограничено (т. Е. Не ограничено).
• Там существует пространство Фреше X , имеющий ограниченное подмножество B , а также плотное векторное подпространство М такое , что Б является не содержится в замыкании (в X ) любого ограниченного подмножества М . ^[4]

Свойства [ править ]

• Конечные объединения , конечные суммы, замыкания , внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств ограничены.
• Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении ограничен.
• В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена.
  • Без локальной выпуклости это неверно, поскольку пространства L p для 0 < p <1 не имеют нетривиальных открытых выпуклых подмножеств.
• Локально выпуклое пространство имеет ограниченную окрестность нуля тогда и только тогда , когда его топология может быть определена одним полунорме .
• Поляра ограниченного множества - это абсолютно выпуклое и поглощающее множество.

Обобщение [ править ]

Определение ограниченных множеств можно обобщить на топологические модули . Подмножество топологического модуля M над топологическим кольцом R является ограниченным , если для любых окрестностей N от 0 _М существует окрестность ш от 0 _R такое , что ж A ⊂ N .

См. Также [ править ]

• Роядный набор  - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченная функция  - Математическая функция
• Ограниченный оператор  - линейный оператор, который переводит ограниченные подмножества в ограниченные подмножества.
• Граничная точка
• Компактное пространство  - Топологические представления о том, что все точки "близки"
• Локальная ограниченность
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Полностью ограниченное пространство
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, AP; WJ Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. 53 . Издательство Кембриджского университета . С. 44–46.
• Шефер, HH (1970). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Springer-Verlag . С. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .