Функция Уолша

Естественная упорядоченная и упорядоченная по порядку матрица Адамара 16-го порядка.
Особенно первую обычно называют матрицей Уолша .
Оба содержат 16 функций Уолша порядка 16 в виде строк (и столбцов).
В правой матрице количество смен знака в строке является последовательным.

В математике , точнее в гармоническом анализе , функции Уолша образуют полный ортогональный набор функций, который может использоваться для представления любой дискретной функции - точно так же, как тригонометрические функции могут использоваться для представления любой непрерывной функции в анализе Фурье . ^[1] Таким образом, их можно рассматривать как дискретный цифровой аналог непрерывной аналоговой системы тригонометрических функций на единичном интервале . Но в отличие от функций синуса и косинуса, которые являются непрерывными , функции Уолша кусочно постоянны. Они принимают значения -1 и +1 только на подынтервалах, определяемыхдиадические дроби .

Система функций Уолша известна как система Уолша . Это расширение системы ортогональных функций Радемахера . ^[2]

Функции Уолша, система Уолша, ряды Уолша ^[3] и быстрое преобразование Уолша – Адамара названы в честь американского математика Джозефа Л. Уолша . Они находят различные применения в физике и технике при анализе цифровых сигналов .

Исторически использовались различные нумерации функций Уолша; ни один из них не превосходит другого. В этой статье мы используем нумерацию Уолша – Пэли .

Определение [ править ]

Определим последовательность функций Уолша , следующим образом .${\ Displaystyle W_ {k}: [0,1] \ rightarrow \ {- 1,1 \}}$${\ Displaystyle к \ ин \ mathbb {N} _ {0}}$

Для любого натурального числа k и действительного числа пусть${\ Displaystyle х \ в [0,1]}$

${\ displaystyle k_ {j}}$быть j- м битом в двоичном представлении k , начиная с младшего значащего бита, и${\ displaystyle k_ {0}}$

${\ displaystyle x_ {j}}$быть j- м битом в двоичном представлении x , начиная со старшего дробного бита.${\ displaystyle x_ {1}}$

Тогда по определению

${\ displaystyle W_ {k} (x) = (- 1) ^ {\ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} k_ {j} x_ {j + 1}}}$

В частности, везде на интервале, поскольку все биты k равны нулю.${\ Displaystyle W_ {0} (х) = 1}$

Обратите внимание, что это в точности функция Радемахера r _m . Таким образом, система Радемахера является подсистемой системы Уолша. Более того, каждая функция Уолша является продуктом функций Радемахера:${\ displaystyle W_ {2 ^ {m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

Сравнение функций Уолша и тригонометрических функций [ править ]

Функции Уолша и тригонометрические функции являются системами, которые образуют полный ортонормированный набор функций, ортонормированный базис в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом функций на единичном интервале. Обе системы являются ограниченными функциями, в отличие, скажем, от системы Хаара или системы Франклина.${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

И тригонометрическая система, и система Уолша допускают естественное продолжение по периодичности от единичного интервала до действительной прямой . Кроме того, как анализ Фурье на единичном интервале ( ряд Фурье ), так и на действительной прямой ( преобразование Фурье ) имеют свои цифровые аналоги, определенные через систему Уолша, ряд Уолша, аналогичный ряду Фурье, и преобразование Адамара, аналогичное преобразованию Фурье.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свойства [ править ]

Система Уолша является коммутативной мультипликативной дискретной группой изоморфна , то понтрягинский двойной из группы Cantor . Его идентичность есть , и каждый элемент имеет второй порядок (то есть самообратный).${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{0}}$

Система Уолша - ортонормированный базис гильбертова пространства . Ортонормальность означает${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$,

и быть базисом означает, что если для каждого мы устанавливаем то${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0}$

Оказывается, для каждого ряд сходится к почти для каждого .${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

Система Уолша (в Уолша-Пэли нумерации) образует базис Шаудера в ,   . Обратите внимание, что, в отличие от системы Хаара и, как и тригонометрической системы, этот базис не является безусловным , и система не является базисом Шаудера .${\displaystyle L^{p}[0,1]}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

Обобщения [ править ]

Системы Уолша-Ферлегера [ править ]

Пусть - компактная группа Кантора, наделенная мерой Хаара, и пусть - ее дискретная группа характеров. Элементы легко отождествляются с функциями Уолша. Конечно, символы определены на, в то время как функции Уолша определены на единичном интервале, но поскольку существует изоморфизм по модулю нуля между этими пространствами мер , измеримые функции на них идентифицируются с помощью изометрии .${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

Тогда основная теория представлений предлагает следующее широкое обобщение концепции системы Уолша .

Для произвольного банахово пространство Пусть будет сильно непрерывна , равномерно ограничена верным действием на X . Для каждого рассмотрим его собственное подпространство . Тогда X есть замкнутая линейная оболочка из подпространств: . Предположим, что каждое собственное подпространство одномерно, и выберем такой элемент , что . Тогда система или та же система в нумерации символов Уолша-Пэли называется обобщенной системой Уолша, связанной с действием . Классическая система Уолша становится частным случаем, а именно для${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset Aut(X)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$${\displaystyle ||w_{\gamma }||=1}$${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

где - сложение по модулю 2.${\displaystyle \oplus }$

В начале 1990-х годов Серж Ферлегер и Федор Сукочев показали, что в широком классе банаховых пространств (так называемых UMD- пространствах ^[4] ) обобщенные системы Уолша обладают многими свойствами, аналогичными классической: они образуют базис Шаудера ^[5] и равномерное конечномерное разложение ^[6] в пространстве, обладают свойством случайной безусловной сходимости. ^[7] Одним из важных примеров обобщенной системы Уолша является система Фермиона Уолша в некоммутативных L ^p- пространствах, ассоциированная с гиперконечным фактором типа II .

Система Фермиона Уолша [ править ]

Система Фермиона Уолша является некоммутативным или «квантовым» аналогом классической системы Уолша. В отличие от последнего, он состоит из операторов, а не функций. Тем не менее обе системы обладают многими важными свойствами, например, обе образуют ортонормированный базис в соответствующем гильбертовом пространстве или базис Шаудера в соответствующих симметрических пространствах. Элементы фермионной системы Уолша называются операторами Уолша .

Термин « фермион» в названии системы объясняется тем фактом, что охватывающее операторное пространство, так называемый гиперконечный фактор типа II , можно рассматривать как пространство наблюдаемых системы счетно бесконечного числа различных спиновых фермионов. Каждый оператор Радемахера действует только на одну конкретную координату фермиона, и это матрица Паули . Его можно отождествить с наблюдаемой измеряемой спиновой компонентой этого фермиона вдоль одной из осей в пространстве спинов. Таким образом, оператор Уолша измеряет спин подмножества фермионов, каждый вдоль своей оси.${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$

Система Виленкина [ править ]

Бинарные поверхности [ править ]

Романуке показал, что функции Уолша могут быть обобщены на бинарные поверхности в частном случае функции двух переменных. ^[8] Существует также восемь базисов типа Уолша ортонормированных бинарных функций ^[9] , структура которых нерегулярна (в отличие от структуры функций Уолша). Эти восемь базисов обобщаются также на поверхности (в случае функции двух переменных). Было доказано, что кусочно-постоянные функции могут быть представлены в пределах каждого из девяти базисов (включая базис функций Уолша) в виде конечных сумм двоичных функций при взвешивании с соответствующими коэффициентами. ^[10]

Нелинейное удлинение фазы [ править ]

Разработаны нелинейные фазовые расширения дискретного преобразования Уолша- Адамара . Было показано, что нелинейные фазовые базисные функции с улучшенными свойствами взаимной корреляции значительно превосходят традиционные коды Уолша в связи с множественным доступом с кодовым разделением каналов (CDMA). ^[11]

Приложения [ править ]

Приложения функций Уолша можно найти везде, где используются цифровые представления, включая распознавание речи , обработку медицинских и биологических изображений и цифровую голографию .

Например, быстрое преобразование Уолша – Адамара (FWHT) может использоваться при анализе цифровых методов квази-Монте-Карло . В радиоастрономии функции Уолша могут помочь уменьшить влияние электрических перекрестных помех между антенными сигналами. Они также используются в пассивных ЖК- панелях в качестве сигналов управления двоичными сигналами X и Y, где автокорреляция между X и Y может быть минимальной для отключенных пикселей.

См. Также [ править ]

• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Гармонический анализ
• Ортогональные функции
• Матрица Уолша

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ферлегер, Сергей В. (март 1998 г.). RUC-системы в некоммутативных симметричных пространствах (Технический отчет). MP-ARC-98-188.CS1 maint: ref=harv (link)

• Ферлегер, Сергей В .; Сукочев, Федор А. (март 1996 г.). «О стягиваемости в точку линейных групп рефлексивных некоммутативных Lp-пространств». Математические труды Кембриджского философского общества . 119 (3): 545–560. Bibcode : 1996MPCPS.119..545F . DOI : 10.1017 / s0305004100074405 .

• Хорошо, Нью-Джерси (1949). «О функциях Уолша» . Пер. Амер. Математика. Soc . 65 (3): 372–414. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1949-0032833-2 .

• Пизье, Жиль (2011). Мартингалы в банаховых пространствах (в связи с типом и типом). Курс IHP (PDF) .

• Романуке, В.В. (2010а). «К вопросу об обобщении функций Уолша на поверхности» .

• Романуке, В.В. (2010b). «Обобщение восьми известных ортонормированных базисов двоичных функций на поверхности» .

• Романуке, В.В. (2010c). «Эквидистантно дискретные на оси аргументов функции и их представление в ряду ортонормированных базисов» .

• Шипп, Ференц; Уэйд, WR; Саймон, П. (1990). Серия Уолша. Введение в диадический гармонический анализ . Akadémiai Kiadó.

• Сукочев, Федор А .; Ферлегер, Сергей В. (декабрь 1995 г.). «Гармонический анализ в (UMD) -пространствах: приложения к теории базисов». Математические заметки . 58 (6): 1315–1326. DOI : 10.1007 / bf02304891 . S2CID  121256402 .

• Уолш, JL (1923). «Замкнутое множество нормальных ортогональных функций» . Амер. J. Math. 45 (1): 5–24. DOI : 10.2307 / 2387224 . JSTOR  2387224 . S2CID  6131655 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Функции Уолша» . MathWorld .

• «Функции Уолша» . Энциклопедия математики .

• «Система Уолша» . Энциклопедия математики .

• «Функции Уолша» . Стэнфордский исследовательский проект .