В математике , эти функции Вейерштрасса являются специальные функции от в комплексной переменной , которые являются вспомогательными к эллиптической функции Вейерштрасса . Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Связь между сигмой, дзетой и функции аналогичны функциям синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса является котангенсом, производная которого отрицательна квадрату косеканса.
Сигма-функция Вейерштрасса
Функция Вейерштрасса сигма связана с двумерной решеткой определяется как продукт
где обозначает . См. Также фундаментальную пару периодов .
Дзета-функция Вейерштрасса
Дзета - функция Вейерштрасса определяется суммой
Дзета-функция Вейерштрасса является логарифмической производной сигма-функции. Дзета-функцию можно переписать как:
где - ряд Эйзенштейна веса 2 k + 2.
Производная дзета-функции равна , где является эллиптическая функция Вейерштрасса
Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел.
Эта функция Вейерштрасса
Эта функция Вейерштрасса определяется как
- и любой w в решетке
Это четко определено, т. Е. зависит только от вектора решетки w . Функция ета Вейерштрасса не следует путать ни с дедекиндовым функции эты или Дирихле функции эты .
℘-функция Вейерштрасса
Р-функция Вейерштрасса связана с дзета - функции с помощью
℘-функция Вейерштрасса является четной эллиптической функцией порядка N = 2 с двойным полюсом в каждой точке решетки и без других полюсов.
Смотрите также
Эта статья включает материал из сигма-функции Weierstrass на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .