В математической области вероятности , то колбаса Винер окрестность следа броуновского движение до времени т , учитывая, принимая все точки в пределах фиксированного расстояния броуновского движения. Его можно представить как колбасу фиксированного радиуса, центральная линия которой представляет собой броуновское движение. Винера колбаса была названа в честь Норберта Винера по MD Донскера и SR Сриниваса Варадана ( 1975 ) из - за его связи с процессом Wiener ; это название также является каламбуром на венской колбасе , поскольку «Wiener» в переводе с немецкого означает «венский».
Винеровская колбаса - один из простейших немарковских функционалов броуновского движения. Его приложения включают стохастические явления, включая теплопроводность . Впервые он был описан Фрэнком Спитцером ( 1964 ) и использовался Марком Кацем и Хоакином Маздаком Латтингером ( 1973 , 1974 ) для объяснения результатов конденсата Бозе-Эйнштейна с доказательствами, опубликованными М. Д. Донскером и С. Р. Шринивасой Варадханом ( 1975 ) .
Определения [ править ]
Винеровская колбаса W δ ( t ) радиуса δ и длины t - это многозначная случайная величина на броуновских путях b (в некотором евклидовом пространстве), определяемая формулой
- - это множество точек на расстоянии δ от некоторой точки b ( x ) пути b при 0≤ x ≤ t .
Объем Венской колбасы [ править ]
Было проведено много работ по поведению объема ( мера Лебега ) | W δ ( t ) | колбасы Винера по мере ее истончения (δ → 0); путем изменения масштаба это по сути эквивалентно изучению объема, когда колбаса становится длинной ( t → ∞).
Спитцер (1964) показал, что в трех измерениях ожидаемая величина объема колбасы равна
В размерности d не менее 3 объем винеровской колбасы асимптотичен
поскольку t стремится к бесконечности. В размерностях 1 и 2 эта формула заменяется на и соответственно. Уитмен (1964) , ученик Спитцера, доказал аналогичные результаты для обобщений винеровских сосисок с поперечными сечениями, задаваемыми более общими компактами, чем шары .
Ссылки [ править ]
- Донскер, доктор медицины ; Варадхан, SRS (1975), "Асимптотика Винера колбасы", Communications по теоретической и прикладной математики , 28 (4): 525-565, DOI : 10.1002 / cpa.3160280406
- Холландер, Ф. ден (2001) [1994], "Винеровская колбаса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Кац, М .; Luttinger, JM (1973), "Конденсация Бозе-Эйнштейна в присутствии примесей", J. Math. Phys. , 14 (11): 1626-1628, Bibcode : 1973JMP .... 14.1626K , DOI : 10,1063 / 1,1666234 , МР 0342114
- Кац, М .; Luttinger, JM (1974), "Конденсация Бозе-Эйнштейна в присутствии примесей. II", J. Math. Phys. , 15 (2): 183-186, Bibcode : 1974JMP .... 15..183K , DOI : 10,1063 / 1,1666617 , МР 0342115
- Саймон, Барри (2005), Функциональная интеграция и квантовая физика , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3, Руководство по ремонту 2105995 Особенно глава 22.
- Спитцер, Ф. (1964), "Электростатический потенциал, поток тепла и Броуновское движение", теории вероятностей и смежные области , 3 (2): 110-121, DOI : 10.1007 / BF00535970 , S2CID 198179345
- Спитцер, Франк (1976), Принципы случайных блужданий , Тексты для выпускников по математике , 34 , New York-Heidelberg: Springer-Verlag, p. 40, Руководство по ремонту 0171290 (Перепечатка издания 1964 г.)
- Снитман, Ален-Сол (1998), броуновское движение, препятствия и случайные среды , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-11281-6 , ISBN 3-540-64554-3, Руководство по ремонту 1717054 Расширенная монография, посвященная венской колбасе.
- Уитмен, Уолтер Уильям (1964), Некоторые строгие законы для случайных блужданий и броуновского движения , докторская диссертация, Cornell U.
