Пятипредельный тюнинг

5-лимитный Tonnetz

Пять предела настройка , 5-предел настройка , или 5-прайм-предел настройка (не следует путать с 5-нечетным предела настройкой), является любой системой для настройки на музыкальный инструменте , который получает частоту каждую ноты путем умножения частоты данной справочной ноты (базовой ноты) на произведение целых степеней 2, 3 или 5 ( простые числа ограничены до 5 или меньше), например 2 ⁻³ · 3 ¹ · 5 ¹ = 15/8 .

Степени двойки представляют собой интервальные движения по октавам. Степени 3 представляют собой движения интервалом в полные квинты (плюс одна октава, которая может быть удалена умножением на 1/2, т. ^Е. 2 ^-1 ). Степени 5 представляют интервалы основных третей (плюс две октавы, удаляемые умножением на 1/4, то есть 2 ^-2 ). Таким образом, 5-предельные строчки полностью построены из трех основных чисто настроенных интервалов (октав, третей и квинт). Поскольку восприятие созвучия, кажется, связано с низкими числами в гармоническом ряду, а настройка с 5 предельными значениями основана на трех самых низких простых числах, настройка с 5 предельными значениями должна быть способна производить очень согласные гармонии. Следовательно, 5-предельная настройка считается методом получения только интонации .

Количество возможных интервалов, классов высоты тона, высоты тона, ключевых центров, аккордов и модуляций, доступных для 5-предельных строев, не ограничено, потому что никакая (ненулевое целое) степень любого простого числа не равна любой степени любого другого простого числа, поэтому доступные интервалы могут можно представить себе бесконечно продолжающимся в 3-мерной решетке (одно измерение или одно направление для каждого простого числа). Если октавы игнорируются, это можно рассматривать как двумерную решетку классов высоты тона (имен нот), неограниченно расширяющуюся в двух направлениях.

Однако большинство систем настройки, разработанных для акустических инструментов, ограничивают общее количество высот по практическим причинам. Также типично (но не всегда) иметь одинаковое количество высот в каждой октаве, представляя октавные транспозиции фиксированного набора классов высоты звука. В этом случае систему настройки можно также рассматривать как повторяющуюся октаву шкалу с определенным количеством шагов на октаву.

Частота любого шага в конкретной 5-предельной системе настройки может быть получена умножением частоты фиксированного эталонного шага, выбранного для системы настройки (например, A440 , A442, A432, C256 и т. Д.), На некоторую комбинацию мощностей 3 и 5 для определения класса высоты звука и некоторой степени 2 для определения октавы.

Например, если у нас есть 5-предельная система настройки, в которой базовая нота - C256 (это означает, что она имеет 256 циклов в секунду, и мы решили назвать ее C), то f _C = 256 Гц, или «частота C равна 256 Гц. . " Есть несколько способов определить E выше этого C. Используя трети, можно подняться на один коэффициент 5 и вниз на два коэффициента 2, достигнув соотношения частот 5/4, или с помощью пятых можно увеличить на четыре раза в 3 и вниз на шесть. коэффициенты 2, достигая 81/64. Частоты становятся:

${\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {1} \ cdot 3 ^ {0} \ cdot 2 ^ {- 2} \ cdot f_ {C} = {5 \ over 4} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 320 \ \ mathrm {Гц}}$

или же

${\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {0} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 2 ^ {- 6} \ cdot f_ {C} = {81 \ over 64} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 324 \ \ mathrm {Гц}}$

Диатоническая гамма [ править ]

Предполагая, что мы ограничимся семью классами высоты звука (семь нот на октаву), можно настроить знакомую диатоническую гамму, используя 5-предельную настройку, несколькими способами, каждый из которых делает большинство триад идеально настроенными, согласными и стабильными. насколько возможно, но оставьте некоторые триады в менее стабильных интервальных конфигурациях.

Выдающиеся ноты данной шкалы настроены так, что их частоты образуют отношения относительно небольших целых чисел. Например, в тональности соль мажор соотношение частот нот G и D ( идеальная квинта ) составляет 3/2, а соотношение G и C составляет 2/3 (нисходящая идеальная квинта) или 4 /. 3 ( идеальная четвертая ) идет вверх, а большая треть от G до B составляет 5/4.

Первичные трезвучия в C Play ( помощь · информация ) . 

Справедливую диатоническую гамму можно получить следующим образом. Представляя тональность до мажор, предположим, что мы настаиваем на том, чтобы субдоминантный корень F и доминантный корень G находились на расстоянии пятой части (3: 2) от тонического корня C с обеих сторон, а аккорды FAC, CEG и GBD были просто мажорными. триады (с соотношением частот 4: 5: 6):

Это известно как интенсивная диатоническая гамма Птолемея . Здесь строка, озаглавленная «Натуральный», выражает все эти отношения с использованием общего списка натуральных чисел (путем умножения строки выше на 1 см ее знаменателя). Другими словами, самое низкое появление этой формы шкалы в одну октаву в гармоническом ряду - это подмножество 7 из 24 гармоник, обнаруженных в октаве от гармоник с 24 по 48.

Три основные трети верны (5: 4), а три второстепенных трети соответствуют ожиданиям (6: 5), но от D до F - полудитон или второстепенная треть Пифагора (равная трем нисходящим точным пятым с поправкой на октаву) , синтоническая запятая уже, чем правильно настроенная (6: 5) второстепенная треть.

Как следствие, мы получаем шкалу, в которой EGB и ACE - всего лишь второстепенные трезвучия (10:12:15), но триада DFA не имеет второстепенной формы или звука, которых мы могли бы ожидать, будучи (27:32:40) . Более того, триада BDF - это не уменьшенная (25:30:36) триада, которую мы получили бы, сложив две второстепенные трети 6: 5, вместо этого (45:54:64): ^{[1] [2]}

Видно, что появляются основные ступенчатые интервалы шкалы:

• s = 16:15 ( полутон )
• t = 10: 9 ( минорный тон )
• Т = 9: 8 ( мажорный тон )

Что может быть объединено для образования больших интервалов (среди прочего):

• Ц = 6: 5 (малая треть)
• Tt = 5: 4 (большая треть)
• Tts = 4: 3 (идеальная четвертая)
• ТТц = 3: 2 (идеальная квинта)
• TTTttss 2: 1 (октава)

Другой способ сделать это следующим образом. Думая в относительной минорной тональности ля минор и используя D, A и E в качестве квинтета, мы можем настаивать на том, чтобы аккорды DFA, ACE и EGB были просто второстепенными трезвучиями (10:12:15):

Если мы сравним это с предыдущей шкалой, мы увидим, что для пяти пар последовательных нот соотношение шагов остается тем же, но в одной ноте, D, шаги CD и DE поменяли свое соотношение.

Три основные трети по-прежнему равны 5: 4, а три второстепенных трети по-прежнему составляют 6: 5, а четвертая - 32:27, за исключением того, что теперь это BD вместо DF, которое составляет 32:27. FAC и CEG по-прежнему образуют только основные триады (4: 5: 6), но GBD сейчас (108: 135: 160), а BDF сейчас (135: 160: 192).

Есть и другие возможности, такие как повышение A вместо понижения D, но каждая корректировка нарушает что-то еще.

Очевидно, невозможно получить все семь диатонических трезвучий в конфигурации (4: 5: 6) для мажора, (10:12:15) для минор и (25:30:36) для уменьшенного одновременно, если мы ограничимся семью веревками.

Это демонстрирует необходимость увеличения количества высот для гармоничного исполнения желаемых гармоний.

Двенадцатитоновая шкала [ править ]

Чтобы построить двенадцатитоновую шкалу в 5-предельной настройке, мы начнем с построения таблицы, содержащей пятнадцать правильно интонированных высот:

Факторы , перечисленные в первой строке и первом столбце являются степенями 3 и 5 соответственно (например, ¹ / ₉ = 3 ^-2 ). Цвета обозначают пары энгармонических нот с почти одинаковой высотой. Все отношения выражены относительно C в центре этой диаграммы (основная нота для этой шкалы). Они вычисляются в два этапа:

1. Для каждой ячейки таблицы базовое соотношение получается путем умножения соответствующих коэффициентов. Например, базовое соотношение для нижней левой ячейки составляет 1/9 · 1/5 = 1/45.
2. Затем базовое отношение умножается на отрицательную или положительную степень 2, настолько большую, насколько это необходимо, чтобы привести его в диапазон октавы, начиная с C (от 1/1 до 2/1). Например, базовое соотношение для нижней левой ячейки (1/45) умножается на 2 ⁶ , и в результате получается соотношение 64/45, что является числом от 1/1 до 2/1.

Обратите внимание, что степени двойки, используемые на втором этапе, можно интерпретировать как возрастающие или убывающие октавы . Например, умножение частоты ноты на ^2-6 означает увеличение ее на 6 октав. Более того, каждая строка таблицы может рассматриваться как последовательность пятых частей (восходящая вправо), а каждый столбец - последовательность основных третей.(восходящий вверх). Например, в первой строке таблицы есть восходящая квинта от D и A, а другая (с последующей нисходящей октавой) от A до E. Это предлагает альтернативный, но эквивалентный метод вычисления тех же соотношений. Например, вы можете получить A (соотношение 5/3), начиная с C, переместив одну ячейку влево и одну вверх в таблице, что означает уменьшение на одну пятую (2/3) и увеличение на одну большую треть ( 5/4):

${\ displaystyle {1 \ over 1} \ cdot {2 \ over 3} \ cdot {5 \ over 4} = {10 \ over 12} = {5 \ over 6}.}$

Поскольку он ниже C, вам нужно подняться на октаву, чтобы попасть в желаемый диапазон соотношений (от 1/1 до 2/1):

${\ displaystyle {5 \ over 6} \ cdot {2 \ over 1} = {10 \ over 6} = {5 \ over 3}.}$

12-тональная шкала получается удалением одной ноты для каждой пары энгармонических нот. Это может быть сделано , по крайней мере , три способами, которые имеют в общем удаление G ♭ , согласно конвенции действительной , даже для С на основе пифагорейского и 1/4-запятой Медиантных масштабов. Обратите внимание на то, что это уменьшенная квинта , примерно на половину октавы, над тоникой C, которая представляет собой дисгармонический интервал; кроме того, его соотношение имеет наибольшие значения в числителе и знаменателе всех тонов шкалы, что делает его наименее гармоничным: все причины, по которым его следует избегать.
Первая стратегия, которую мы здесь условно обозначим как симметричная шкала 1 , состоит в выборе для удаления тонов в верхнем левом и нижнем правом углах таблицы. Второй, обозначенный каксимметричная шкала 2 , состоит из отбрасывания нот в первой и последней ячейке второго ряда (помечена « 1 »). Третий, обозначенный как асимметричная шкала , состоит из отбрасывания первого столбца (помеченного « 1/9 »). Полученные 12-тональные шкалы показаны ниже:

В первом и втором масштабах B ♭ и D - это точная инверсия друг друга. Это не относится к третьему. Это является причиной того, почему эти две шкалы рассматриваются как симметричное (хотя удаление G ♭ делает все 12 тональных весы, в том числе производится с любой другой системой настройки, слегка асимметричные).

Асимметричная система имеет преимущество в том, что она имеет «наиболее правильные» соотношения (те, которые содержат меньшие числа), девять чистых пятых (фактор 3/2), восемь чистых основных третей (фактор 5/4) по дизайну, но также шесть чистых второстепенных третей ( фактор 6/5). Однако он также содержит две нечистые пятые (например, от D до A - это 40/27, а не 3/2) и три нечистых второстепенных трети (например, от D до F составляет 32/27, а не 6/5), что практически ограничивает модуляцию. узкому кругу клавиш. Аккорды тоники C, доминанты G и субдоминанты F чисты, так же как D ♭ , A ♭ , E ♭ и минорные аккорды Fm, Cm, Gm, Am, Bm и Em, но не Dm.

Недостатком асимметричной системы является то, что она дает 14 волчьих интервалов, а не 12, как для симметричных (см. Ниже).

B ♭ в первой симметричной шкале отличается от B ♭ в других гаммах синтонной запятой и составляет более 21 цента. В равномерно темперированных гаммах разница устраняется за счет того, что все ступени имеют одинаковое соотношение частот.

Построение асимметричной шкалы графически показано на рисунке. Каждый блок имеет высоту в центах конструктивных соотношений частот 2/1, 3/2 и 5/4. Можно распознать повторяющиеся шаблоны. Например, много раз следующая нота создается путем замены блока 5/4 и блока 3/2 на блок 2/1, представляющий соотношение 16/15.

Аналогичное изображение, построенное с использованием частотных факторов 2, 3 и 5, а не 2/1, 3/2 и 5/4, см. Здесь .

Справедливые соотношения [ править ]

Правильные соотношения, используемые для построения этих шкал, можно использовать в качестве эталона для оценки согласованности интервалов в других шкалах (например, см. Эту сравнительную таблицу ). Однако 5-предельная настройка - не единственный способ добиться только интонации . Можно построить просто интервалы с даже более «ровными» соотношениями или, наоборот, со значениями, близкими к равнозначным эквивалентам. Например, 7-предел настройки иногда используется , чтобы получить слегка Juster и , следовательно , более согласного интервал для малой седьмой (7/4) и его инверсии, основной секунду (8/7). Список этих эталонных соотношений, которые можно назвать чистыми или строго справедливыми. интервалы или отношения, представлены ниже:

Ячейки, выделенные желтым цветом, указывают интервалы, которые больше, чем в неокрашенных ячейках той же строки. Те, которые выделены голубым, указывают на еще более низкие соотношения.

Обратите внимание, что отношения 45/32 и 64/45 для тритонов (усиленный четвертый и уменьшенный пятый) не во всех контекстах рассматриваются как строго справедливые, но они являются максимально возможными в вышеупомянутых 5-предельных шкалах настройки. Расширенная асимметричная 5-предельная шкала (см. Ниже) обеспечивает несколько более точные соотношения для обоих тритонов (25/18 и 36/25), чистота которых также вызывает споры. 7-предельная настройка допускает максимально возможные соотношения, а именно 7/5 (около 582,512 цента, также известный как септимальный тритон ) и 10/7 (около 617,488 цента). Эти соотношения более согласны, чем 17/12 (около 603 000 центов) и 24/17 (около 597 000 центов), которые могут быть получены при настройке с 17 предельными значениями, но последние также довольно распространены, поскольку они ближе к равному - умеренная стоимость 600 000 центов.

Вышеупомянутый интервал 7/4 (около 968,826 центов), также известный как семеричный минорный седьмой или гармонический седьмой, был спорным вопросом на протяжении всей истории теории музыки; это на 31 цент меньше, чем уравновешенный минорный седьмой.

Размер интервалов [ править ]

В приведенных выше таблицах показаны только соотношения частот каждого тона по отношению к основной ноте C. Однако интервалы можно формировать, начиная с каждой из двенадцати нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. Д.).

В настройке с 5 предельными значениями каждый из типов интервалов, за исключением унисонов и октав, имеет три или даже четыре различных размера. Это расплата за поиск интонации. Таблицы справа и ниже показывают их отношения частот и их приблизительные размеры в центах для «асимметричной шкалы». Подобные таблицы для «симметричной шкалы 1» публикуются здесь и здесь . Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер в интервале от С до G, который является идеальной пятой ( Р5 ), можно найти в седьмом столбце строки меченой С . Чистые интервалы, как определено выше, выделены жирным шрифтом. шрифт (обратите внимание, что, как объяснялось выше, справедливо интонированное соотношение 45/32 ≈ 590 центов для формата A4 не считается чистым).

Цветовой код выделяет интервалы, которые отклоняются от эталонных размеров в таблице построения, и показывает величину их отклонения. Интервалы волков отмечены черным. ^[4]

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют четыре разных полутона (т. Е. Интервалы между соседними нотами). Например:

• ${\ Displaystyle S_ {1} = {{5 \ более 4} \ div {6 \ более 5}} = {25 \ более 24} \ приблизительно 70,672 \ {\ hbox {центов}}}$
  ("Просто" усиленный унисон между E ♭ и E)
• ${\ displaystyle S_ {2} = {{9 \ более 8} \ div {16 \ более 15}} = {135 \ более 128} \ приблизительно 92,179 \ {\ hbox {центов}}}$
  (Увеличенный унисон между D ♭ и D)
• ${\ displaystyle S_ {3} = {16 \ более 15} \ около 111,731 \ {\ hbox {центов}}}$
  («Просто» второстепенная секунда между C и D ♭ )
• ${\displaystyle S_{4}={{9 \over 5}\div {5 \over 3}}={27 \over 25}\approx 133.238\ {\hbox{cents}}}$
  (Незначительная секунда между A и B ♭ )

И наоборот, в хроматической гамме с одинаковым темперированием , по определению, двенадцать шагов равномерно распределены, причем все полутоны имеют размер точно

• ${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000\ {\hbox{cents}}.}$

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Обратите внимание, что 5-предельная настройка была разработана, чтобы максимизировать количество чистых интервалов, но даже в этой системе несколько интервалов заметно нечисты (например, как показано на рисунках, 60 из 144 интервалов отклоняются по крайней мере на 19,6 цента от справедливой интонированные эталонные размеры, указанные в строительной таблице). Кроме того, 5-предельная настройка дает гораздо большее количество волчьих интервалов по сравнению с пифагорейской настройкой , которую можно рассматривать как 3-предельную настройку только по интонации. А именно, в то время как пифагорейская настройка определяет только 2 волчьих интервала (пятую и четвертую), симметричная шкала с 5 границами дает 12 из них, а асимметричная шкала 14. Также важно отметить, что две пятых, три второстепенные трети, и три основных шестых, отмеченных в таблицах оранжевым цветом (соотношение 40/27, 32/27 и 27/16 (или G-, E ♭- и A + ^[3] ), даже если они не полностью удовлетворяют условиям ^[4], чтобы быть волчьими интервалами, отклоняются от соответствующего чистого отношения на величину (1 синтоническая запятая , то есть 81/80, или примерно 21,5 цента ) достаточно большой, чтобы его можно было явно воспринимать как диссонирующее . ^[5]

Ясно, что чем больше мы пытаемся увеличить количество чистых и согласных интервалов, тем больше остаются нечистые и диссонирующие за счет компенсации. Некоторые из основных секунд (M2) и второстепенных седьмых (m7) представляют собой единственное исключение из этого правила. Как вы можете видеть в таблицах, те, которые отмечены оранжевым цветом, являются чистыми (10/9 и 16/9), даже если их размер на 81/80 уже, чем соответствующий контрольный размер (9/8 и 9/5).

Для сравнения с другими системами настройки см. Также эту таблицу .

Запятые [ править ]

В других системах настройки запятая может быть определена как минутный интервал, равный разнице между двумя видами полутонов (диатоническим и хроматическим, также известным как минорная секунда, m2 , или увеличенный унисон, A1 ). Однако в этом случае создаются 4 разных типа полутонов (два A1, S ₁ и S ₂ и два m2, S ₃ и S ₄ ), и 12 разных запятых могут быть определены как разница между их размерами в центах, или, что эквивалентно, как отношения между их отношениями. Среди них мы выбираем шесть восходящих (с соотношением больше 1/1 и положительным размером в центах):

Имя запятой	Эквивалентные определения		Размер
	В значении одного темперамента	В 5-предельной настройке (асимметричная шкала)	Соотношение	Центов
Диашизма ( ДС )	${\displaystyle {m2 \over A1}}$ в 1/6 запятой означает один	${\displaystyle {S_{3} \over S_{2}}={{16 \over 15}\div {135 \over 128}}}$	${\displaystyle {2048 \over 2025}}$	${\displaystyle 19.6~}$
Синтоническая запятая ( SC )	${\displaystyle {{LD} \over {DS}}={{GD} \over {LD}}}$	${\displaystyle {S_{2} \over S_{1}}={{135 \over 128}\div {25 \over 24}}}$	${\displaystyle {81 \over 80}}$	${\displaystyle 21.5~}$
		${\displaystyle {S_{4} \over S_{3}}={{27 \over 25}\div {16 \over 15}}}$
Малый дизис ( LD )	${\displaystyle {m2 \over A1}}$ в 1/4 запятой означает один	${\displaystyle {S_{3} \over S_{1}}={{16 \over 15}\div {25 \over 24}}}$	${\displaystyle {128 \over 125}}$	${\displaystyle 41.1~}$
		${\displaystyle {S_{4} \over S_{2}}={{27 \over 25}\div {135 \over 128}}}$
Большой дизис ( GD )	${\displaystyle {m2 \over A1}}$ в 1/3 запятой означает один	${\displaystyle {S_{4} \over S_{1}}={{27 \over 25}\div {25 \over 24}}}$	${\displaystyle {648 \over 625}}$	${\displaystyle 62.6~}$

Остальные шесть соотношений отбрасываются, потому что они прямо противоположны этим, и, следовательно, они имеют точно такую ​​же длину, но противоположное направление (т.е. нисходящее направление, соотношение меньше 1/1 и отрицательный размер в центах). . Мы получаем запятые четырех разных размеров: диашизму, малый диэзис, синтоническую запятую и большую диэзис. Поскольку S ₁ ( просто A1 ) и S ₃ ( просто m2 ) являются наиболее часто встречающимися полутонами в этой 12-тональной шкале (см. Таблицы выше), меньший диесис, определяемый как соотношение между ними, является наиболее часто встречающимся. наблюдается запятая.

Синтоническая запятая также определяется в 5-предельной настройке как отношение между основным тоном (M2 с размером 9/8) и второстепенным тоном (M2 с размером 10/9). Обратите внимание, что в других системах настройки его нельзя определить как соотношение между диатоническим и хроматическим полутонами (m2 / A1), но это важное эталонное значение, используемое для настройки идеальной квинты в любой системе настройки в континууме синтонической темперации (включая также имел в виду один темперамент).

Уменьшенные секунды [ править ]

Три из вышеупомянутых запятых, а именно диасхизма, диэзис и большой диэзис, соответствуют определению уменьшенной секунды , являясь разницей между размерами в центах диатонического и хроматического полутона (или, что то же самое, соотношением их частот соотношения).

Напротив, синтоническая запятая определяется либо как разница в центах между двумя хроматическими полутонами (S ₂ и S ₁ ), либо между двумя диатоническими полутонами (S ₄ и S ₃ ), и не может считаться уменьшенной секундой.

Расширение двенадцатитонной шкалы [ править ]

В приведенной выше таблице используются только малые степени 3 и 5 для построения базовых соотношений. Однако его можно легко расширить, используя более высокие положительные и отрицательные степени одних и тех же чисел, например 5 ² = 25, 5 ^-2 = 1/25, 3 ³ = 27 или 3 ^-3 = 1/27. Масштаб с 25, 35 или даже большим шагом может быть получен путем комбинирования этих основных соотношений.

Например, можно получить 35 шагов, добавляя ряды в каждом направлении следующим образом:

Левый столбец ( 1/9 ) иногда удаляется (как в показанной выше асимметричной шкале), создавая таким образом асимметричную таблицу с меньшим количеством шагов. Обратите внимание , что отношение справедливее производится для уменьшенного пятой (CG ♭ = 36/25), в отношении ограниченного 5-предела настройки описано выше (где С к G ♭ - = 64/45). ^[6]

История [ править ]

В пифагорейской настройке, возможно, первой системе настройки, теоретизированной на Западе ^[7], единственными высоко согласными интервалами были идеальная квинта и ее инверсия, идеальная четверть . Пифагор основных третьих (81:64) и второстепенный третьи (32:27) были диссонансом , и это не позволяло музыкантам использовать триады и аккорды , заставляя их на протяжении многих веков , чтобы писать музыку с относительно простой структуры . В период позднего средневековья музыканты осознали, что, слегка смягчив высоту некоторых нот, пифагорейские трети можно сделать согласными.. Например, если вы уменьшите синтонную запятую (81:80), частота E, CE (большая треть) и EG (второстепенная треть) станет равной. А именно, СЕ сужается до справедливо интонированного соотношения

${\displaystyle {81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}}$

и в то же время EG расширяется до справедливого отношения

${\displaystyle {32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}}$

Недостатком является то, что квинта AE и EB, сглаживая E, становятся почти такими же диссонирующими, как пифагорейская квинта волка . Но пятая CG остается согласной, поскольку сглаживается только E (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2), и ее можно использовать вместе с CE для создания мажорного трезвучия до (CEG).

Обобщая это простое объяснение, Джозеффо Зарлино в конце шестнадцатого века создал первую 7-тонную ( диатоническую ) гамму с правильной интонацией , которая содержала чистые совершенные квинты (3: 2), чистые мажорные трети и чистые минорные трети:

F → A → C → E → G → B → D

Это последовательность только основных третей (M3, соотношение 5: 4) и только малых третей (m3, соотношение 6: 5), начиная с F:

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

Поскольку M3 + m3 = P5 (идеальная квинта), то есть 5/4 * 6/5 = 3/2, это в точности эквивалентно диатонической шкале, полученной в 5-предельной интонации, и, следовательно, ее можно рассматривать как подмножество таблица построения 12-тональной ( хроматической ) шкалы:

где обе строки представляют собой последовательности только пятых, а FA, CE, GB - только основные трети:

См. Также [ править ]

• Математика музыкальных гамм
• Микротональная музыка
• Микротюнер
• Пифагоров интервал
• Полутон
• Список интервалов в 5-предельной интонации
• Список подразумеваемых интервалов
• Список музыкальных интервалов
• Список интервалов высоты тона
• Целостная шкала
• Обычный номер
• Hexany
• Электронный тюнер
• Созвучие и диссонанс

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Art of the States: микротональные / просто интонационные произведения американских композиторов с использованием только интонации
• Фонд Хризалис - Просто интонация: два определения
• Гитара 21 Tone Just Intonation Данте Розати
• Просто Интонация от Марка Nowitzky
• Просто Интонация Разъяснения по Kyle Ганна
• Подборка произведений Just Intonation, отредактированных веб- сайтом Just Intonation Network, опубликованная в архиве проекта Tellus Audio Cassette Magazine на сайте Ubuweb
• Фонд средневековой музыки и искусства
• Музыка Новаторы - Просто интонация
• Почему Just Intonation так хорошо звучит?
• Архивы Уилсона
• Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Леванте
• Программное обеспечение для клавиатуры 22 Note Just Intonation с 12 звуками индийских инструментов Libreria Editrice
• Plainsound Music Edition - музыка и исследования JI, информация о Pitch Notation Гельмгольца-Эллиса