Операция Адамса

В математике , в работе Adams , обозначаемый ψ ^к для натуральных чисел к , является когомологической операцией в топологических К-теории , или любой союзнической операции в алгебраических К-теории или других типах алгебраической конструкции, определенных на шаблоне , введенной Frank Adams . Основная идея состоит в том, чтобы реализовать некоторые фундаментальные тождества в теории симметричных функций на уровне векторных расслоений или другого представляющего объекта в более абстрактных теориях.

В более общем случае операции Адамса можно определить в любом λ-кольце над рациональными числами.

Операции Адамса в K-теории [ править ]

Операции Адамса ψ ^k теории K (алгебраические или топологические) характеризуются следующими свойствами.

1. ψ ^k - гомоморфизмы колец .
2. ψ ^k (l) = l ^k, если l - класс линейного расслоения .
3. ψ ^к являются функториальна .

Основная идея состоит в том, что для векторного расслоения V на топологическом пространстве X существует аналогия между операторами Адамса и внешними степенями , в которых

ψ ^k ( V ) соответствует Λ ^k ( V )

как

в сумме мощности Е а ^к является к K -й элементарной симметрической функции σ _к

корней α многочлена P ( t ). (См . Тождества Ньютона .) Здесь Λ ^k обозначает k -ю внешнюю степень. Из классической алгебры известно, что степенные суммы - это некоторые целые многочлены Q _k от σ _k . Идея состоит в том, чтобы применить те же многочлены к Λ ^k ( V ), взяв вместо σ _k . Это вычисление может быть определено в K -группе, в которой векторные пучки могут быть формально объединены путем сложения, вычитания и умножения ( тензорное произведение ). Многочлены здесь называютсяНьютон полиномы (не, однако, Ньютон многочлены из интерполяционной теории).

Обоснование ожидаемых свойств происходит из случая линейного расслоения, где V - сумма Уитни линейных расслоений. В этом частном случае результатом любой операции Адамса является, естественно, векторное расслоение, а не линейная комбинация единиц в K -теории. Формальное рассмотрение прямых факторов линейного расслоения как корней является чем-то довольно стандартным в алгебраической топологии (см. Теорему Лере – Хирша ). В общем случае механизм сведения к этому случаю исходит из принципа расщепления векторных расслоений.

Операции Адамса в теории представлений групп [ править ]

Операция Адамса имеет простое выражение в теории представлений групп. ^[1] Пусть G - группа и р - представление группы G с характером χ. Представление ψ ^k (ρ) имеет характер

${\ displaystyle \ chi _ {\ psi ^ {k} (\ rho)} (g) = \ chi _ {\ rho} (g ^ {k}) \.}$

Ссылки [ править ]

• Адамс, Дж. Ф. (май 1962 г.). «Векторные поля на сферах». Анналы математики . Вторая серия. 75 (3): 603–632. DOI : 10.2307 / 1970213 . Zbl  0112.38102 .