В евклидовой геометрии особый интерес представляют инволюции, которые являются линейными или аффинными преобразованиями над евклидовым пространством R n . Такие инволюции легко охарактеризовать, и их можно описать геометрически.
Линейные инволюции [ править ]
Дать линейную инволюцию - это то же самое, что дать инволютивную матрицу , квадратную матрицу A такую, что
где I - единичная матрица .
Это быстрая проверка того, что квадратная матрица D , все элементы которой равны нулю на главной диагонали и ± 1 на диагонали, то есть матрица подписи вида
удовлетворяет (1), т.е. является матрицей линейной инволюции. Оказывается, все матрицы, удовлетворяющие (1), имеют вид
- A = U −1 DU ,
где U обратима, а D такое же, как указано выше. То есть, матрица любой линейной инволюции имеет вид D до в матрице сходства . Геометрически это означает, что любая линейная инволюция может быть получена путем косого отражения от любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через начало координат. (Термин " наклонное отражение", используемый здесь, включает обычные отражения.)
Легко проверить, что A представляет линейную инволюцию тогда и только тогда, когда A имеет вид
- А = ± (2П - I)
для линейной проекции P .
Аффинные инволюции [ править ]
Если A представляет линейную инволюцию, то x → A ( x - b ) + b является аффинной инволюцией. Можно проверить, что любая аффинная инволюция действительно имеет такой вид. Геометрически это означает, что любая аффинная инволюция может быть получена путем применения наклонных отражений против любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через точку b .
Аффинные инволюции могут быть классифицированы по размерности аффинного пространства в фиксированных точках ; это соответствует количеству значений 1 на диагонали аналогичной матрицы D (см. выше), т. е. размерности собственного подпространства для собственного значения 1.
Аффинные инволюции в 3D:
- личность
- наклонное отражение относительно плоскости
- наклонное отражение относительно линии
- отражение по отношению к точке.
Изометрические инволюции [ править ]
В случае, когда собственное подпространство для собственного значения 1 является ортогональным дополнением к собственному значению -1, т. Е. Каждый собственный вектор с собственным значением 1 ортогонален каждому собственному вектору с собственным значением -1, такая аффинная инволюция является изометрией . Два крайних случая, к которым это всегда применимо, - это функция тождества и инверсия в точке .
Другие инволютивные изометрии - это инверсия в линии (в 2D, 3D и выше; в 2D это отражение , а в 3D - поворот вокруг линии на 180 °), инверсия в плоскости (в 3D и выше; в 3D это отражение в плоскости), инверсия в трехмерном пространстве (в 3D: тождество) и т. д.
 | В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
