В геометрии , плиточные Амманны-Beenker является непериодической плиточным , которые могут быть получены либо путем апериодическим набором prototiles как это было сделано Роберт Ammann в 1970 - х, либо методе проб и проект , как это сделано независимо друг от друга FPM Beenker . Поскольку все мозаики, полученные с помощью плиток, непериодичны, мозаики Аммана – Бенкера считаются апериодическими. [ необходимая цитата ] Они являются одним из пяти наборов мозаик, открытых Амманном и описанных в книге Плитки и узоры . [1]
У мозаик Амманна – Бенкера есть много свойств, аналогичных более известным мозаикам Пенроуза :
- Они непериодичны, что означает отсутствие какой-либо трансляционной симметрии .
- Их непериодичность подразумевается их иерархической структурой: мозаики - это мозаики замещения, возникающие из правил замещения для растущих все больших и больших участков. Эта структура замены также подразумевает, что:
- Любая конечная область (участок) в мозаике появляется бесконечно много раз в этом мозаике и, фактически, в любом другом мозаике. Таким образом, все бесконечные мозаики выглядят похожими друг на друга, если смотреть только на конечные участки.
- Они квазикристаллические : реализованные в виде физической структуры разбиение Амманна – Бенкера вызовет брэгговскую дифракцию ; дифрактограмма выявляет как лежащую в основе восьмеричную симметрию, так и дальний порядок. Этот порядок отражает тот факт, что мозаики организованы не посредством трансляционной симметрии, а скорее посредством процесса, который иногда называют «дефляцией» или «инфляцией».
- Вся эта бесконечная глобальная структура вынуждается с помощью правил локального сопоставления на паре плиток, среди самых простых апериодических наборов плиток, когда-либо найденных, набора A5 Амманна. [1]
Были предложены различные методы описания мозаик: правила сопоставления, замены, схемы разрезов и проекций [2] и покрытия. [3] [4] В 1987 году Ван, Чен и Куо объявили об открытии квазикристалла с восьмиугольной симметрией. [5]
Описание плитки
Плитки A и B Аммана в его паре A5 представляют собой ромб под 45-135 градусов и треугольник под 45-45-90 градусов, украшенные правилами сопоставления, которые допускают только определенные расположения в каждом регионе, вызывая непериодические, иерархические и квазипериодические структуры каждого из бесконечного числа отдельных мозаик Амманна – Бенкера.
Альтернативный набор плиток, также обнаруженный Амманном и помеченный «Амманн 4» у Грюнбаума и Шепарда [1], состоит из двух невыпуклых частей с прямым углом. Один состоит из двух квадратов, перекрывающих меньший квадрат, а другой состоит из большого квадрата, прикрепленного к меньшему квадрату. На диаграммах ниже показаны части и часть мозаики.
Это правило замены для альтернативного набора плиток.
Отношения между двумя наборами тайлов.
В дополнение к краевым стрелкам в обычном наборе тайлов, правила сопоставления для обоих наборов тайлов могут быть выражены путем рисования частей больших стрелок в вершинах и требования их соединения в полные стрелки.
Кац [6] изучил дополнительные мозаики, которые можно разрешить, отбросив ограничения на вершины и наложив только требование, чтобы стрелки на краях совпадали. Поскольку это требование само по себе сохраняется правилами подстановки, любой новый тайлинг имеет бесконечную последовательность «увеличенных» копий, полученных последовательным применением правила подстановки. Каждая мозаика в последовательности неотличима от истинной мозаики Амманна – Бенкера в последовательно увеличивающемся масштабе. Так как некоторые из этих мозаик являются периодическими, отсюда следует, что никакое украшение тайлов, которое действительно вызывает апериодичность, не может быть определено, глядя на любой конечный участок мозаики. Таким образом, ориентацию вершинных стрелок, которые вызывают апериодичность, можно вывести только из всей бесконечной мозаики.
У мозаики есть также экстремальное свойство: среди мозаик, ромбы которых чередуются (то есть, когда два ромба соседствуют или разделены строкой квадратов, они оказываются в разных ориентациях), доля квадратов оказывается минимальной в схеме Амманна. –Бинкерские плитки. [7]
Особенности соотношения пелля и серебра
Тайлинги Амманна – Бенкера тесно связаны с отношением серебра () и числа Пелла .
- замена схемы вводит соотношение как коэффициент масштабирования: его матрица представляет собой матрицу подстановки Пелла, а ряд слов, произведенный подстановкой, обладает тем свойством, что количество слов песок s равны последовательным числам Пелла.
- то собственные значения матрицы замещения являются а также .
- В альтернативном наборе тайлов длинные края имеют стороны в разы длиннее, чем короткие края.
- Один набор червей Конвея , образованный короткой и длинной диагоналями ромбов, образует вышеуказанные струны, где r - короткая диагональ, а R - длинная диагональ. Таким образом, стержни Ammann также образуют упорядоченные сетки Пелла. [8]
Ammann прутки для обычного набора фишек. Если считать, что жирные внешние линии имеют длину, стержни разбивают края на сегменты длиной а также .
Полосы Амманна для альтернативного набора тайлов. Обратите внимание, что планки асимметричной плитки частично выходят за ее пределы.
Проектное строительство
Tesseractic сот имеет симметрию вращения восьмикратный, что соответствует восьмикратный вращательной симметрии тессеракта . Матрица вращения, представляющая эту симметрию:
Преобразование этой матрицы в новые координаты, заданные
- произведет:
Эта третья матрица соответствует повороту как на 45 ° (в первых двух измерениях), так и на 135 ° (в последних двух). Затем мы можем получить мозаику Амманна – Бенкера, спроецируя пласт гиперкубов либо по первым двум, либо по двум последним из новых координат.
В качестве альтернативы, мозаика Амманна – Бенкера может быть получена путем рисования ромбов и квадратов вокруг точек пересечения пары квадратных решеток равного масштаба, наложенных под углом 45 градусов. Эти два метода были разработаны Бинкером в его статье.
Связанное с этим многомерное вложение в тессерактические соты - это конструкция Клотца, как подробно описано в ее применении здесь, в статье Бааке и Джозефа. [9] Таким образом, восьмиугольная приемлемая область может быть далее разбита на части, каждая из которых затем дает ровно одну конфигурацию вершины. Более того, относительная площадь любой из этих областей равна частоте соответствующей конфигурации вершин в бесконечном замощении.
Область приема домена и соответствующая конфигурация вершины | |
---|---|
Ссылки и примечания
- ^ a b c Грюнбаум, Б .; Шепард, GC (1986). Плитки и узоры . Нью-Йорк: Фриман. ISBN 0-7167-1193-1.
- ^ Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадрат и ромб, Отчет TH 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен
- ^ F. Gähler, Труды 6ой Международной конференции по квазикристаллов,редакцией С. Такеучи и Т. Фудзивара, World Scientific, Сингапур, 1998, с. 95.
- ^ Бен-Абрахам, SI; Гелер, Ф. (1999). "Покрывающее кластерное описание восьмиугольных квазикристаллов MnSiAl" (PDF) . Physical Review B . 60 (2): 860–864. DOI : 10.1103 / PhysRevB.60.860 . Архивировано из оригинального (PDF) 17 июня 2007 года.
- ^ Wang, N .; Chen, H .; Куо, К. Х. (1987). «Двумерный квазикристалл с восьмеричной вращательной симметрией» (PDF) . Письма с физическим обзором . 59 (9): 1010–1013. Bibcode : 1987PhRvL..59.1010W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.59.1010 . PMID 10035936 .
- ^ Кац, А (1995). «Правила совпадения и квазипериодичность: восьмиугольные мозаики». In Axel, F .; Gratias, D. (ред.). Помимо квазикристаллов . Springer. С. 141–189. DOI : 10.1007 / 978-3-662-03130-8_6 . ISBN 978-3-540-59251-8.
- ^ Bédaride, N .; Ферник, Т. (2013). «Возвращение к плиткам Амманна-Бенкера». В Schmid, S .; Холка, правая; Лифшиц Р. (ред.). Апериодические кристаллы . Springer. С. 59–65. arXiv : 1208.3545v1 . DOI : 10.1007 / 978-94-007-6431-6_8 . ISBN 978-94-007-6430-9.
- ^ Socolar, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Physical Review B . 39 (15): 10519–10551. Bibcode : 1989PhRvB..3910519S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.39.10519 . PMID 9947860 . MR0998533.
- ^ Бааке, М; Джозеф, Д. (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Physical Review B . 42 (13): 8091–8102. Bibcode : 1990PhRvB..42.8091B . DOI : 10.1103 / Physrevb.42.8091 .
Внешние ссылки
- Запись в энциклопедии Tilings .
- Плитки Амманна – Бенкера на сайте Джона Саварда .
- Показывает линии Амманна для мозаики и правила замены .