Треугольник

Равносторонний треугольник
Правильный треугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	{3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 3 ), порядок 2 × 3
Внутренний угол ( градусы )	60 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

Треугольник
Треугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	{3} (для равносторонних)
Область	различные методы; см. ниже
Внутренний угол ( градусы )	60 ° (для равностороннего)

Треугольник = Треугольник (три) + Угол

Треугольник представляет собой многоугольник с тремя ребрами и тремя вершинами . Это одна из основных форм в геометрии . Треугольник с вершинами A , B , и C обозначается . ^[1]${\ Displaystyle \ треугольник ABC}$

В евклидовой геометрии любые три точки, когда они не коллинеарны , определяют уникальный треугольник и одновременно уникальную плоскость (т. Е. Двумерное евклидово пространство ). Другими словами, есть только одна плоскость, которая содержит этот треугольник, и каждый треугольник содержится в некоторой плоскости. Если вся геометрия представляет собой только евклидову плоскость , существует только одна плоскость, и все треугольники содержатся в ней; однако в многомерных евклидовых пространствах это уже неверно. Эта статья посвящена треугольникам в евклидовой геометрии и, в частности, евклидовой плоскости, если не указано иное.

Виды треугольника

По длине сторон

Треугольники можно классифицировать по длине их сторон: ^{[2] [3]}

• У равностороннего треугольника три стороны одинаковой длины. Равносторонний треугольник также является правильным многоугольником, все углы которого составляют 60 °. ^[4]
• У равнобедренного треугольника две стороны равной длины. ^{[примечание 1] [5]} Равнобедренный треугольник также имеет два угла одной и той же меры, а именно углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины. Этот факт составляет содержание теоремы о равнобедренном треугольнике , известной Евклиду . Некоторые математики определяют равнобедренный треугольник как имеющий ровно две равные стороны, тогда как другие определяют равнобедренный треугольник как равнобедренный треугольник как минимум с двумя равными сторонами. ^[5] Последнее определение сделало бы все равносторонние треугольники равнобедренными треугольниками. Прямоугольный треугольник 45–45–90, который появляется в квадратной мозаике тетракиса , является равнобедренным.
• У разностороннего треугольника все стороны разной длины. ^[6] Точно так же все углы разной меры.

• Равносторонний треугольник

• Равнобедренный треугольник

• Неравносторонний треугольник

Метки штриховки , также называемые метками, используются на схемах треугольников и других геометрических фигур для обозначения сторон равной длины. ^[1] Сторона может быть отмечена рисунком «галочки», короткими отрезками линии в виде отметок ; две стороны имеют одинаковую длину, если они отмечены одинаковым рисунком. В треугольнике паттерн обычно не более 3 тиков. Равносторонний треугольник имеет одинаковый узор на всех трех сторонах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый узор только на двух сторонах, а равносторонний треугольник имеет разные узоры на всех сторонах, поскольку нет равных сторон.

Точно так же образцы 1, 2 или 3 концентрических дуг внутри углов используются для обозначения равных углов: равносторонний треугольник имеет одинаковый узор на всех трех углах, равнобедренный треугольник имеет тот же узор только на 2 углах, а равносторонний треугольник имеет разные узоры на всех углах, так как никакие углы не равны.

По внутренним углам

Треугольники также можно классифицировать по их внутренним углам , измеренным здесь в градусах .

• Прямоугольный треугольник (или прямоугольный треугольник , ранее называемый rectangled треугольником ) имеет одну из своих внутренних углов измерения 90 ° (с прямым углом ). Сторона, противоположная прямому углу, - это гипотенуза , самая длинная сторона треугольника. Две другие стороны называются ножками или катетами ^[7] (единственное число: катет ) треугольника. Правые треугольники подчиняются теореме Пифагора : сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы: a ² + b ² = c ², где a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы. Специальные прямоугольные треугольники - это прямоугольные треугольники с дополнительными свойствами, которые упрощают вычисления с их использованием. Один из двух самых известных - прямоугольный треугольник 3–4–5, где 3 ² + 4 ² = 5 ² . В этой ситуации 3, 4 и 5 являются тройкой Пифагора . Другой - равнобедренный треугольник с двумя углами по 45 градусов (треугольник 45–45–90).
• Треугольники, у которых угол не равен 90 °, называются наклонными треугольниками .
• Треугольник, все внутренние углы которого составляют менее 90 °, является острым или остроугольным треугольником . ^[3] Если c - длина самой длинной стороны, то a ² + b ² > c ² , где a и b - длины других сторон.
• Треугольник с одним внутренним углом, превышающим 90 °, является тупым или тупоугольным треугольником . ^[3] Если c - длина самой длинной стороны, то a ² + b ² < c ² , где a и b - длины других сторон.
• Треугольник с внутренним углом 180 ° (и коллинеарными вершинами) вырожден .
• Правый вырожденный треугольник имеет коллинеарные вершины, две из которых совпадают.

Треугольник, который имеет два угла с одинаковой мерой, также имеет две стороны одинаковой длины, и поэтому это равнобедренный треугольник. Отсюда следует, что в треугольнике, у которого все углы одинаковы, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, равносторонние.

Верно	Тупой	Острый
	${\ Displaystyle \ Underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}}$
	Косой

Основные факты

Предполагается, что треугольники являются двумерными плоскими фигурами , если контекст не предусматривает иное (см. Непланарные треугольники ниже). Поэтому при строгом рассмотрении треугольник называется 2- симплексом (см. Также Многогранник ). Элементарные факты о треугольниках были представлены Евклидом в книгах 1–4 его Элементов , написанных около 300 г. до н. Э.

Сумма мер внутренних углов треугольника в евклидовом пространстве всегда на 180 градусов. ^{[8] [3]} Этот факт эквивалентен постулату Евклида о параллельности . Это позволяет определить меру третьего угла любого треугольника, учитывая меру двух углов. Внешний угол треугольника представляет собой угол , который представляет собой линейную пар (и , следовательно , дополнительный ) к внутреннему углу. Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух внутренних углов, которые не примыкают к нему; это теорема о внешнем угле. Сумма измерений трех внешних углов (по одному на каждую вершину) любого треугольника составляет 360 градусов. ^{[заметка 2]}

Сходство и соответствие

Два треугольника называются подобными , если каждый угол одного треугольника имеет ту же меру, что и соответствующий угол другого треугольника. Соответствующие стороны подобных треугольников имеют одинаковую длину, и этого свойства также достаточно для установления подобия.

Вот некоторые основные теоремы о подобных треугольниках:

• Если и только если одна пара внутренних углов двух треугольников имеет ту же меру, что и друг друга, а другая пара также имеет ту же меру, что и друг друга, треугольники подобны.
• Если и только если одна пара соответствующих сторон двух треугольников находится в той же пропорции, что и другая пара соответствующих сторон, и их углы имеют одинаковую меру, тогда треугольники подобны. ( Включенный угол для любых двух сторон многоугольника - это внутренний угол между этими двумя сторонами.)
• Если и только если три пары соответствующих сторон двух треугольников находятся в одинаковой пропорции, то треугольники подобны. ^{[заметка 3]}

Два конгруэнтных треугольника имеют точно такие же размер и форму: ^{[примечание 4]} все пары соответствующих внутренних углов равны по размеру , и все пары соответствующих сторон имеют одинаковую длину. (Всего шесть равенств, но трех часто бывает достаточно, чтобы доказать соответствие.)

Некоторые индивидуально необходимые и достаточные условия для конгруэнтности пары треугольников:

• Постулат SAS: две стороны в треугольнике имеют такую ​​же длину, как две стороны в другом треугольнике, и включенные углы имеют ту же меру.
• ASA: два внутренних угла и сторона, входящая в треугольник, имеют те же размеры и длину, что и в другом треугольнике. ( Включенная сторона для пары углов - это общая для них сторона.)
• SSS: каждая сторона треугольника имеет ту же длину, что и соответствующая сторона другого треугольника.
• AAS: Два угла и соответствующая (не включенная) сторона в треугольнике имеют те же размеры и длину, соответственно, что и в другом треугольнике. (Иногда это называется AAcorrS, а затем включает ASA выше.)

Некоторые индивидуально достаточные условия:

• Теорема гипотенузы-катета (HL): гипотенуза и катет в прямоугольном треугольнике имеют ту же длину, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это также называется RHS (прямоугольный, гипотенуза, боковой).
• Теорема о гипотенузе-угле: гипотенуза и острый угол в одном прямоугольном треугольнике имеют ту же длину и размер, соответственно, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это всего лишь частный случай теоремы AAS.

Важное условие:

• Side-Side-Angle (или угол-Side-Side) условие: Если две стороны и соответствующих не прилежащий угол треугольника имеют одинаковую длину и меру, соответственно, как те , в другом треугольнике, то это не достаточно , чтобы доказать конгруэнтность; но если заданный угол противоположен более длинной стороне двух сторон, тогда треугольники совпадают. Теорема гипотенузы-ноги является частным случаем этого критерия. Условие Side-Side-Angle само по себе не гарантирует, что треугольники конгруэнтны, потому что один треугольник может иметь тупой угол, а другой - остроугольный.

Используя прямоугольные треугольники и концепцию подобия, можно определить тригонометрические функции синуса и косинуса. Это функции угла, которые исследуются в тригонометрии .

Правые треугольники

Центральной теоремой является теорема Пифагора , которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. Если гипотенуза имеет длину c , а катеты - a и b , то теорема утверждает, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Верно и обратное: если длины сторон треугольника удовлетворяют приведенному выше уравнению, то треугольник имеет прямой угол, противоположный стороне c .

Еще несколько фактов о прямоугольных треугольниках:

• Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга .

${\displaystyle a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.}$

• Если стороны прямоугольного треугольника имеют одинаковую длину, то углы, противоположные этим сторонам, имеют одинаковую величину. Поскольку эти углы дополняют друг друга, каждый из них составляет 45 градусов. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна длине катета, умноженной на √ 2 .
• В прямоугольном треугольнике с острыми углами 30 и 60 градусов гипотенуза вдвое больше длины более короткой стороны, а длинная сторона равна длине короткой стороны, умноженной на √ 3 :

${\displaystyle c=2a\,}$

${\displaystyle b=a\times {\sqrt {3}}.}$

Для всех треугольников, углы и стороны связаны косинусов и закона синусов (также называется правилом косинус и синус правила ).

Существование треугольника

Состояние по бокам

В силу неравенства треугольника гласит , что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше или равна длине третьей стороны. Эта сумма может равняться длине третьей стороны только в случае вырожденного треугольника с коллинеарными вершинами. Эта сумма не может быть меньше длины третьей стороны. Треугольник с тремя заданными положительными длинами сторон существует тогда и только тогда, когда эти длины сторон удовлетворяют неравенству треугольника.

Условия на углах

Три заданных угла образуют невырожденный треугольник (а на самом деле их бесконечное количество) тогда и только тогда, когда выполняются оба этих условия: (а) каждый из углов положителен и (б) сумма углов равна 180 °. Если разрешены вырожденные треугольники, допустимы углы 0 °.

Тригонометрические условия

Три положительных угла α , β и γ , каждый из которых меньше 180 °, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,}$^[9]

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,}$^[9]

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,}$^[10]

${\displaystyle \tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),}$

последнее равенство применяется только в том случае, если ни один из углов не равен 90 ° (поэтому значение касательной функции всегда конечно).

Точки, линии и круги, связанные с треугольником

Существуют тысячи различных конструкций, которые находят особую точку, связанную с (и часто внутри) треугольником, удовлетворяющую некоторым уникальным свойствам: их каталог см. В статье « Энциклопедия центров треугольников» . Часто они строятся путем нахождения трех линий, симметрично связанных с тремя сторонами (или вершинами), а затем доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке: важным инструментом для доказательства их существования является теорема Чевы , которая дает критерий для определения того, когда три таких линии одновременно . Точно так же прямые, связанные с треугольником, часто строятся путем доказательства того, что три симметрично построенные точки коллинеарны : здесь теорема Менелаядает полезный общий критерий. В этом разделе объясняются лишь некоторые из наиболее часто встречающихся конструкций.

Перпендикуляр из стороны треугольника является прямой линией , проходящей через среднюю точку в стороне и перпендикулярно к ней, т.е. образуя прямой угол с ней. Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, центре описанной окружности треугольника , обычно обозначаемой буквой O ; эта точка является центром окружности , на окружности , проходящей через все три вершины. Диаметр этого круга, называемый окружным диаметром , можно найти из закона синусов, изложенного выше. Радиус описанной окружности называется радиусом описанной окружности .

Теорема Фалеса подразумевает, что если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то противоположный угол является прямым. Если центр описанной окружности расположен внутри треугольника, то треугольник острый; если центр описанной окружности расположен вне треугольника, то треугольник тупой.

Высота треугольника представляет собой прямую линию через вершину и перпендикулярно (т.е. образуя прямой угол с) в противоположную сторону. Это противоположная сторона называется базой по высоте, и точка , где высота пересекает основание (или его расширение) называется ногой на высоте. Длина высоты - это расстояние между основанием и вершиной. Эти три высоты пересекаются в одной точке, называется ортоцентр треугольника, обычно обозначают Н . Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый.

Биссектриса треугольника представляет собой прямую линию через вершину , которая разрезает соответствующий угол пополам. Три угла биссектрисы пересекаются в одной точке, в вписанной , обычно обозначаемый I , в центре треугольника вписанной . Вписанная окружность - это круг, который лежит внутри треугольника и касается всех трех сторон. Его радиус называется внутренним радиусом . Есть еще три важных круга, вневписанные круги ; они лежат вне треугольника и касаются одной стороны, а также продолжения двух других. Центры входящей и вневписанной окружностей образуют ортоцентрическую систему .

Медиана треугольника представляет собой прямую линию через вершины и средней точки стороны , противоположной, и делит треугольник на две равные части. Три медианы пересекаются в одной точке, треугольника медиан или геометрической барицентр, обычно обозначается G . Центроид твердого треугольного объекта (вырезанного из тонкого листа однородной плотности) также является его центром масс : объект может быть уравновешен на его центроиде в однородном гравитационном поле. Центроид разрезает каждую медиану в соотношении 2: 1, то есть расстояние между вершиной и центроидом в два раза больше расстояния между центроидом и серединой противоположной стороны.

Середины трех сторон и основания трех высот лежат на едином круге, окружности из девяти точек треугольника . Остальные три точки, для которых он назван, являются серединами участка высоты между вершинами и ортоцентром . Радиус окружности из девяти точек вдвое меньше радиуса описанной окружности. Он касается вписанной окружности (в точке Фейербаха ) и трех вневписанных окружностей .

Ортоцентр (синяя точка), центр окружности из девяти точек (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый) лежат на одной линии, известной как линия Эйлера (красная линия). Центр окружности из девяти точек находится в средней точке между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром.

Центр вписанной окружности, как правило, не находится на линии Эйлера.

Если отразить медиану в биссектрисе угла, проходящей через ту же вершину, получится симедиана . Три симедианы пересекаются в одной точке - симедиане треугольника.

Вычисление сторон и углов

Существуют различные стандартные методы расчета длины стороны или меры угла. Некоторые методы подходят для вычисления значений в прямоугольном треугольнике; в других ситуациях могут потребоваться более сложные методы.

Тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках

В прямоугольных треугольниках тригонометрические соотношения синуса, косинуса и тангенса можно использовать для нахождения неизвестных углов и длин неизвестных сторон. Стороны треугольника известны следующим образом:

• Гипотенузой является сторона , противоположным под прямым углом, или определяются как самая длинная сторона прямоугольного треугольника, в этом случае ч .
• Сторона , противоположная это сторона напротив угла мы заинтересованы в том , как в этом случае а .
• Смежно сторона является стороной , которая находится в контакте с углом мы заинтересованы в том, и под прямым углом, отсюда и его название. В этом случае соседняя сторона - b .

Синус, косинус и тангенс

Синус угла есть отношение длины стороны , противоположной к длине гипотенузы. В нашем случае

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.}$

Это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если он содержит угол A , поскольку все эти треугольники подобны .

Косинус угла есть отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.}$

Касательное угла есть отношение длины стороны , противоположной к длине смежной стороны. В нашем случае

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

Сокращение « SOH-CAH-TOA » является полезным мнемоником для этих соотношений.

Обратные функции

В обратных тригонометрических функциях могут быть использованы для расчета внутренних углов для прямоугольного треугольника с длиной любых двух сторон.

Arcsin можно использовать для вычисления угла из длины противоположной стороны и длины гипотенузы.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arccos можно использовать для вычисления угла из длины прилегающей стороны и длины гипотенузы.

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arctan можно использовать для вычисления угла от длины противоположной стороны и длины соседней стороны.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)}$

Во вводных курсах геометрии и тригонометрии обозначения sin ⁻¹ , cos ⁻¹ и т. Д. Часто используются вместо arcsin, arccos и т. Д. Однако обозначения arcsin, arccos и т. Д. Являются стандартными в высшей математике, где тригонометрические функции обычно возводятся в степень, так как это позволяет избежать путаницы между мультипликативным обратным и композиционным обратным .

Правила синуса, косинуса и тангенса

Закон синусов , или синусоидальной правило, ^[11] гласит , что отношение длины стороны к синусу угла его соответствующего противоположного является постоянным, то есть

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

Это отношение равно диаметру описанной окружности данного треугольника. Другая интерпретация этой теоремы состоит в том, что каждый треугольник с углами α, β и γ подобен треугольнику с длинами сторон, равными sin α, sin β и sin γ. Этот треугольник можно построить, сначала построив круг диаметром 1 и вписав в него два из углов треугольника. Длина сторон этого треугольника будет равна sin α, sin β и sin γ. Сторона, длина которой равна sin α, противоположна углу, размер которого равен α, и т. Д.

Закон косинусов или косинусов, соединяет длину неизвестной стороны треугольника к длине других сторон , и углу напротив неизвестной стороны. ^[11] Согласно закону:

Для треугольника с длиной сторон a , b , c и углами α, β, γ соответственно, даны две известные длины треугольника a и b , а также угол между двумя известными сторонами γ (или угол, противоположный неизвестному сторона c ), для вычисления третьей стороны c можно использовать следующую формулу:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Если длины всех трех сторон любого треугольника известны, можно вычислить три угла:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

Закон касательных или правил касательной, может быть использован , чтобы найти сторону или угол , когда две стороны и угол или два угла и сторона известны. В нем говорится, что: ^[12]

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Решение треугольников

«Решение треугольников» - это основная тригонометрическая задача: найти недостающие характеристики треугольника (три угла, длины трех сторон и т. Д.), Когда даны по крайней мере три из этих характеристик. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Эта проблема часто возникает в различных тригонометрических приложениях, таких как геодезия , астрономия , строительство , навигация и т. Д.

Вычисление площади треугольника

Графический вывод формулы , исключающей обычную процедуру удвоения площади треугольника и последующего уменьшения ее вдвое.${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

Вычисление площади T треугольника - элементарная задача, с которой часто сталкиваются во многих различных ситуациях. Самая известная и простая формула:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh,}$

где b - длина основания треугольника, а h - высота или высота треугольника. Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра от вершины, противоположной основанию, до линии, содержащей основание. В 499 году н.э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатии (раздел 2.6). ^[13]

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко определить, что не всегда так. Например, геодезист треугольного поля может относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Ниже приводится подборка часто используемых формул для вычисления площади треугольника. ^[14]

Использование тригонометрии

Высоту треугольника можно определить с помощью тригонометрии .

Знающий SAS : Использование меток на изображении справа, высота Н = грех${\displaystyle \gamma }$ . Подставив это в полученную выше формулу , площадь треугольника можно выразить как:${\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }$

(где α - внутренний угол в точке A , β - внутренний угол в точке B , внутренний угол в точке C, а c - прямая AB ).${\displaystyle \gamma }$

Кроме того, поскольку sin α = sin ( π - α) = sin (β + ), и аналогично для двух других углов:${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$

Зная ААС :

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}$

и аналогично, если известная сторона - это a или c .

Зная ASA : ^[2]

${\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}$

и аналогично, если известная сторона - это b или c .

Используя формулу Герона

Форма треугольника определяется длинами сторон. Следовательно, площадь также может быть получена из длин сторон. По формуле Герона :

${\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

где - полупериметр , или половина периметра треугольника.${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$

Три других эквивалентных способа записи формулы Герона:

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

Использование векторов

Площадь параллелограмма, встроенного в трехмерное евклидово пространство, можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AB и AC точки соответственно от A до B и от A до C . Тогда площадь параллелограмма ABDC равна

${\displaystyle |\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,}$

которая является величиной векторного произведения векторов AB и AC . Площадь треугольника ABC составляет половину этой площади,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.}$

Площадь треугольника ABC также можно выразить через скалярные произведения следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,}$

В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AB как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x ₁ , y ₁ ) и AC как ( x ₂ , y ₂ ), это можно переписать как:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,}$

Используя координаты

Если вершина A расположена в начале координат (0, 0) декартовой системы координат, а координаты двух других вершин задаются как B = ( x _B , y _B ) и C = ( x _C , y _C ) , то область может быть вычислена как 1 / 2 раза по абсолютной величине в определителе

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

Для трех общих вершин уравнение выглядит следующим образом:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$

который можно записать как

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$

Если точки помечены последовательно против часовой стрелки, указанные выше определяющие выражения положительны и знаки абсолютного значения могут быть опущены. ^[15] Вышеупомянутая формула известна как формула шнурка или формула геодезиста.

Если мы расположим вершины в комплексной плоскости и обозначим их в последовательности против часовой стрелки как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i и c = x _C + y _C i , и обозначим их комплексные сопряжения как ` ` и , то формула${\displaystyle {\bar {a}}}$${\displaystyle {\bar {b}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}$

эквивалентно формуле шнурка.

В трех измерениях площадь общего треугольника A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) и C = ( x _C , y _C , z _C ) является Пифагорова сумма площадей соответствующих проекций на трех главных плоскостях (т.е. x = 0, y = 0 и z = 0):

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}$

Использование линейных интегралов

Область в пределах любой замкнутой кривой, такой как треугольник, задается интегралом линии вокруг кривой или алгебраической подписанного расстояния точки на кривой от произвольной ориентированной на прямой линии L . Ориентированные точки справа от L считаются находящимися на отрицательном расстоянии от L , в то время как вес для интеграла берется как составляющая длины дуги, параллельная L, а не сама длина дуги.

Этот метод хорошо подходит для вычисления площади произвольного многоугольника . Принимая L за ось x , линейный интеграл между последовательными вершинами ( x _i , y _i ) и ( x _{i +1} , y _{i +1} ) задается умножением на основание средней высоты, а именно ( x _{i +1} - х _я ) ( у _я + у _{я +1} ) / 2. Знак области является общим индикатором направления обхода, с отрицательной областью, указывающей на обход против часовой стрелки. Тогда площадь треугольника выпадает, как в случае многоугольника с тремя сторонами.

Хотя метод линейного интеграла имеет общее с другими методами, основанными на координатах, произвольный выбор системы координат, в отличие от других, он не делает произвольного выбора вершины треугольника в качестве начала или стороны в качестве основания. Кроме того, выбор системы координат, определяемой L, предполагает использование только двух степеней свободы, а не трех, поскольку вес является локальным расстоянием (например, x _{i +1} - x _i в приведенном выше примере), поэтому метод не требует выбора оси , перпендикулярной к L .

При работе в полярных координатах нет необходимости преобразовывать в декартовы координаты для использования линейного интегрирования, поскольку линейный интеграл между последовательными вершинами ( r _i , θ _i ) и ( r _{i +1} , θ _{i +1} ) многоугольника задан непосредственно на r _i r _{i +1} sin (θ _{i +1} - θ _i ) / 2. Это справедливо для всех значений θ с некоторым снижением числовой точности, когда | θ | на много порядков больше π. В этой формулировке отрицательная область указывает на обход по часовой стрелке, что следует учитывать при смешивании полярных и декартовых координат. Так же, как выбор оси y ( x = 0 ) несущественен для линейного интегрирования в декартовых координатах, так и здесь несущественен выбор нулевого заголовка ( θ = 0 ).

Формулы, похожие на формулу Герона

Три формулы имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются через разные переменные. Во-первых, обозначив медианы сторон a , b и c соответственно как m _a , m _b и m _c, а их полусумму ( m _a + m _b + m _c ) / 2 как σ, получим ^[16]

${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Затем, обозначив высоты по сторонам a , b и c соответственно как h _a , h _b и h _c , и обозначив полусумму обратных величин высот, как мы имеем ^[17]${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

И обозначая полусумму синусов углов как S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , мы имеем ^[18]

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

где D - диаметр описанной окружности:${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

Использование теоремы Пика

См. В теореме Пика методику нахождения площади любого произвольного многоугольника решетки (нарисованного на сетке с вертикально и горизонтально смежными точками решетки на равных расстояниях и с вершинами на точках решетки).

Теорема гласит:

${\displaystyle T=I+{\frac {1}{2}}B-1}$

где - количество точек внутренней решетки, а B - количество точек решетки, лежащих на границе многоугольника.${\displaystyle I}$

Другие формулы площади

Существует множество других формул площади, например

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

где r - внутренний радиус , s - полупериметр (фактически, эта формула верна для всех касательных многоугольников ), и ^{[19] : Лемма 2}

${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$

где - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b, c соответственно.${\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}$

У нас также есть

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

и ^[20]

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$

для описанного диаметра D ; и ^[21]

${\displaystyle T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

для угла α ≠ 90 °.

Площадь также можно выразить как ^[22]

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

В 1885 году Бейкер ^[23] дал собрание более сотни различных формул площади для треугольника. Это включает:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3},}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

для описанного радиуса (радиуса описанной окружности) R , и

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

Верхняя граница площади

Площадь T любого треугольника с периметром p удовлетворяет условию

${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. ^{[24] [25] : 657}

Остальные верхние границы площади T даются в ^{[26] : с.290.}

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

а также

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$

оба снова держатся тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Деление области пополам

Есть бесконечно много прямых, которые делят площадь треугольника пополам . ^[27] Три из них - медианы, единственные биссектрисы площадей, проходящие через центроид. Три другие биссектрисы параллельны сторонам треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника. Их может быть один, два или три для любого данного треугольника.

Дальнейшие формулы для общих евклидовых треугольников

Формулы в этом разделе верны для всех евклидовых треугольников.

Медианы, биссектрисы, перпендикулярные биссектрисы и высоты

Медианы и стороны связаны соотношением ^{[28] : с.70}

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}$

а также

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}}$,

и то же самое для m _b и m _c .

Для угла A, противоположного стороне a , длина биссектрисы внутреннего угла равна ^[29]

${\displaystyle w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},}$

для полупериметра s , где длина биссектрисы измеряется от вершины до того места, где она встречается с противоположной стороной.

Внутренние срединные перпендикуляры задаются формулой

${\displaystyle p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$

где стороны и площадь ^{[30] : Thm 2}${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\displaystyle T.}$

Высота, например, со стороны длины a равна

${\displaystyle h_{a}={\frac {2T}{a}}.}$

Циркумрадиус и внутренний радиус

Следующие формулы включают радиусы описанной окружности R и внутренние радиусы r :

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где h _a и т. д. - высоты до индексов; ^{[28] : стр.79}

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[10]

а также

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

Произведение двух сторон треугольника равно высоте третьей стороны, умноженной на диаметр D описанной окружности: ^{[28] : с.64}

${\displaystyle ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.}$

Смежные треугольники

Предположим, что два соседних, но не перекрывающихся треугольника имеют одну и ту же сторону длины f и имеют одну и ту же описанную окружность, так что сторона длины f является хордой описанной окружности, а стороны треугольников имеют длины сторон ( a , b , f ) и ( c , d , f ), где два треугольника вместе образуют циклический четырехугольник с последовательностями сторон ( a , b , c , d ). Тогда ^{[31] : 84}

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,}$

Центроид

Пусть G - центроид треугольника с вершинами A , B и C , а P - любая внутренняя точка. Тогда расстояния между точками связаны соотношением ^{[31] : 174}

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,}$

Сумма квадратов сторон треугольника равна троекратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$^[32]

Пусть q _a , q _b и q _c - расстояния от центроида до сторон с длинами a , b и c . Тогда ^{[31] : 173}

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

а также

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,}$

для области Т .

Окружной центр, инцентр и ортоцентр

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса. ^{[28] : с.83} Здесь длина отрезка считается отрицательной тогда и только тогда, когда отрезок полностью лежит вне треугольника. Этот метод особенно полезен для вывода свойств более абстрактных форм треугольников, таких как индуцированные алгебрами Ли , которые в остальном обладают теми же свойствами, что и обычные треугольники.

Теорема Эйлера гласит, что расстояние d между центром описанной окружности и центром описывается формулой ^{[28] : с.85}

${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$

где R - радиус описанной окружности, а r - внутренний радиус. Таким образом, для всех треугольников R ≥ 2 r с равенством для равносторонних треугольников.

Если мы обозначим, что ортоцентр делит одну высоту на отрезки длиной u и v , другую высоту на отрезки длины w и x , а третью высоту на отрезки длины y и z , то uv = wx = yz . ^{[28] : с.94}

Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной вершины до ортоцентра. ^{[28] : стр.99}

Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра H плюс сумма квадратов сторон равняется двенадцати разам квадрата радиуса описанной окружности: ^{[28] : с.102}

${\displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.}$

Углы

Помимо закона синусов , закона косинусов , закона касательных и приведенных ранее тригонометрических условий существования для любого треугольника

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.}$

Теорема Морли о трехсекторах

Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трехугольников образуют равносторонний треугольник, называемый треугольником Морли.

Фигуры вписаны в треугольник

Коники

Как обсуждалось выше, каждый треугольник имеет уникальную вписанную окружность (вписанную окружность), которая является внутренней по отношению к треугольнику и касается всех трех сторон.

У каждого треугольника есть уникальный эллипс Штейнера, который является внутренним по отношению к треугольнику и касается середины сторон. Теорема Мардена показывает, как найти фокусы этого эллипса . ^{[33] У} этого эллипса наибольшая площадь из всех эллипсов, касательных ко всем трем сторонам треугольника.

Mandart inellipse треугольника является эллипсом вписан в треугольнике касательной к его сторонам в точках контакта Вневписанных.

Для любого эллипса , вписанного в треугольник ABC , пусть фокусы быть P и Q . Тогда ^[34]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Выпуклый многоугольник

Каждый выпуклый многоугольник с площадью T может быть вписан в треугольнике площади самого большем равен 2 Т . Равенство выполняется (исключительно) для параллелограмма . ^[35]

Шестиугольник

Шестиугольник Лемуан является циклическим шестиугольник с вершинами , заданных шести пересечений сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его симедиана точки . Либо в своей простой форме, либо в своей самопересекающейся форме шестиугольник Лемуана является внутренним по отношению к треугольнику с двумя вершинами на каждой стороне треугольника.

Квадраты

Каждый острый треугольник имеет три вписанных квадрата (квадраты внутри, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, поэтому два из них лежат на одной стороне, и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, поэтому в прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата. В тупой треугольник вписан только один квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. Внутри данного треугольника более длинная общая сторона связана с меньшим вписанным квадратом. Если вписанный квадрат имеет сторону длины q _a, а треугольник - длину a, часть стороны которой совпадает со стороной квадрата, тогда q _a , a , высота h _a со стороны a и площадь треугольника T соотносятся согласно ^{[36] [37]}

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$

Наибольшее возможное отношение площади вписанного квадрата к площади треугольника равно 1/2, что происходит, когда a ² = 2 T , q = a / 2 , а высота треугольника от основания длиной a равна равно a . Наименьшее возможное отношение стороны одного вписанного квадрата к стороне другого в том же не тупом треугольнике равно ^[37] Оба этих крайних случая имеют место для равнобедренного прямоугольного треугольника.${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3=0.94....}$

Треугольники

От внутренней точки опорного треугольника ближайшие точки на трех сторонах служат вершинами педального треугольника этой точки. Если внутренняя точка - это центр описанной окружности контрольного треугольника, вершины педального треугольника - это середины сторон контрольного треугольника, и поэтому педальный треугольник называется треугольником средней точки или средним треугольником. Треугольник средней точки делит контрольный треугольник на четыре конгруэнтных треугольника, которые похожи на контрольный треугольник.

Треугольник Gergonne или InTouch треугольник опорного треугольника имеет свои вершины в трех точках касания сторон эталонного треугольника с его вписанным. Extouch треугольник опорного треугольника имеет свои вершины в точках касания Вневписанного эталонного треугольника с его сторон (не распространяется).

Фигуры, описанные вокруг треугольника

Тангенциальная треугольник опорного треугольника (кроме прямоугольного треугольника) является треугольник, стороны которого расположены на касательных к окружности эталонного треугольника в его вершинах.

Как упоминалось выше, у каждого треугольника есть уникальная описанная окружность, окружность, проходящая через все три вершины, центр которой является пересечением серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Кроме того, каждый треугольник имеет уникальный круговой эллипс Штейнера , который проходит через вершины треугольника и имеет центр в центроиде треугольника. Из всех эллипсов, проходящих через вершины треугольника, он имеет наименьшую площадь.

Киперта гипербола является уникальным конической , которая проходит через три вершины треугольника, его центр тяжести, и его описанную окружность.

Из всех треугольников, содержащихся в данном выпуклом многоугольнике, существует треугольник максимальной площади, вершинами которого являются все вершины данного многоугольника. ^[38]

Указание положения точки в треугольнике

Один из способов определить расположение точек внутри (или вне) треугольника - это разместить треугольник в произвольном месте и ориентации на декартовой плоскости и использовать декартовы координаты. Этот подход удобен для многих целей, но имеет тот недостаток, что значения координат всех точек зависят от произвольного расположения на плоскости.

Две системы избегают этой особенности, так что на координаты точки не влияет перемещение треугольника, его вращение или отражение, как в зеркале, любое из которых дает конгруэнтный треугольник, или даже его масштабирование, чтобы получить аналогичный треугольник. :

• Трилинейные координаты определяют относительные расстояния точки от сторон, так что координаты указывают, что отношение расстояния точки от первой стороны к ее расстоянию от второй стороны составляет и т. Д.${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle x:y}$
• Барицентрические координаты формы определяют местоположение точки с помощью относительных весов, которые должны быть поставлены на три вершины, чтобы сбалансировать в противном случае невесомый треугольник на данной точке.${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

Непланарные треугольники

Непланарный треугольник - это треугольник, не входящий в (плоскую) плоскость. Некоторыми примерами неплоских треугольников в неевклидовой геометрии являются сферические треугольники в сферической геометрии и гиперболические треугольники в гиперболической геометрии .

В то время как размеры внутренних углов в плоских треугольниках всегда составляют в сумме 180 °, гиперболический треугольник имеет меры углов, которые в сумме меньше 180 °, а сферический треугольник имеет меры углов, которые в сумме составляют более 180 °. Гиперболический треугольник можно получить, нарисовав отрицательно изогнутую поверхность, например, седловидную поверхность , а сферический треугольник можно получить, нарисовав положительно изогнутую поверхность, например, сферу . Таким образом, если нарисовать гигантский треугольник на поверхности Земли, он обнаружит, что сумма размеров его углов больше 180 °; фактически это будет между 180 ° и 540 °. ^[39] В частности, можно нарисовать на сфере треугольник так, чтобы размер каждого из его внутренних углов равнялся 90 °, что в сумме составляет 270 °.

В частности, на сфере сумма углов треугольника равна

180 ° × (1 + 4 ф ),

где f - часть площади сферы, заключенной в треугольник. Например, предположим, что мы рисуем на поверхности Земли треугольник с вершинами на Северном полюсе, в точке на экваторе на 0 ° долготы и точке на экваторе на 90 ° западной долготы. Линия большого круга между двумя последними точками является экватором, а линия большого круга между любой из этих точек и Северным полюсом - линией долготы; так что есть прямые углы в двух точках на экваторе. Более того, угол на Северном полюсе также равен 90 °, потому что две другие вершины отличаются на 90 ° долготы. Таким образом, сумма углов в этом треугольнике составляет 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 °.. Треугольник охватывает 1/4 части северного полушария (90 ° / 360 °, если смотреть с Северного полюса) и, следовательно, 1/8 поверхности Земли, поэтому в формуле f = 1/8 ; таким образом, формула правильно дает сумму углов треугольника как 270 °.

Из приведенной выше формулы суммы углов мы также можем видеть, что поверхность Земли локально плоская: если мы нарисуем произвольно маленький треугольник в окрестности одной точки на поверхности Земли, доля f поверхности Земли, заключенная в треугольник, будет быть сколь угодно близким к нулю. В этом случае формула суммы углов упрощается до 180 °, что, как мы знаем, говорит нам евклидова геометрия для треугольников на плоской поверхности.

Треугольники в строительстве

Прямоугольники были самой популярной и распространенной геометрической формой зданий, поскольку их легко складывать и организовывать; Как правило, легко проектировать мебель и приспособления, которые вписываются в здания прямоугольной формы. Но треугольники, хотя их сложнее использовать в концептуальном плане, дают большую силу. Поскольку компьютерные технологии помогают архитекторам проектировать новые здания, треугольные формы становятся все более распространенными в качестве частей зданий и в качестве основной формы для некоторых типов небоскребов, а также строительных материалов. В 1989 году в Токио архитекторы задавались вопросом, можно ли построить 500-этажную башню, чтобы обеспечить доступное офисное пространство для этого густонаселенного города, но с опасностью для зданий от землетрясений, архитекторы посчитали, что для строительства такого здания потребуется треугольная форма. ^[40]

В Нью-Йорке , когда Бродвей пересекает главные проспекты, полученные блоки срезаются как треугольники, и на этих формах строятся здания; Одним из таких зданий является здание Flatiron Building треугольной формы, в котором, как признают специалисты по недвижимости, есть «лабиринт неудобных пространств, в которых нелегко разместить современную офисную мебель», но это не помешало структуре стать символом ориентира. ^[41] В Норвегии дизайнеры построили дома с использованием треугольных мотивов. ^[42] Треугольники появились в церквях ^[43], а также в общественных зданиях, включая колледжи ^[44], а также в качестве опор для новаторских домашних конструкций. ^[45]

Треугольники крепкие; в то время как прямоугольник может сжаться в параллелограмм от давления до одной из своих точек, треугольники обладают естественной силой, которая поддерживает конструкции против бокового давления. Треугольник не изменит форму, если его стороны не согнуты, не растянуты, не сломаны или если его суставы не сломаны; по сути, каждая из трех сторон поддерживает две другие. Прямоугольник, напротив, в структурном смысле больше зависит от прочности соединений. Некоторые дизайнеры-новаторы предложили делать кирпичи не прямоугольными, а треугольными формами, которые можно комбинировать в трех измерениях. ^[46]Вероятно, что по мере усложнения архитектуры треугольники будут все больше и больше использоваться по-новому. Важно помнить, что треугольники сильны с точки зрения жесткости, но, будучи упакованными в мозаичную структуру, треугольники не так прочны, как шестиугольники при сжатии (отсюда преобладание шестиугольных форм в природе ). Тем не менее, мозаичные треугольники по-прежнему обладают превосходной прочностью для консольной конструкции , и это является основой для одной из самых прочных искусственных конструкций - четырехгранной фермы .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме треугольников .

Найдите треугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Треугольник" , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Кларк Кимберлинг: Энциклопедия треугольных центров . Перечисляет около 5200 интересных точек, связанных с любым треугольником.