Расположение гиперплоскостей

В геометрии и комбинаторике , расположение гиперплоскостей является расположением конечного множества A из гиперплоскостей в линейной , аффинной или проективной пространстве S . Вопросы о гиперплоскости расположение А вообще относится геометрический, топологический, или другие свойства дополнения , M ( ), который является набором , который остается , когда гиперплоскости удаляются из всего пространства. Можно спросить, как эти свойства связаны с компоновкой и ее полурешеткой пересечений. ВПересечение полурешетка из A , написанный L ( A ), является множеством всех подпространств , которые получаются при пересечении некоторых из гиперплоскостей; среди этих подпространств находится само S , все индивидуальные гиперплоскости, все пересечения пар гиперплоскостей и т. д. (за исключением, в аффинном случае, пустого множества). Эти пересечения подпространств из А также называют квартирами A . Полурешетка пересечений L ( A ) частично упорядочена обратным включением .

Если все пространство S двумерно, гиперплоскости - прямые ; такое расположение часто называют расположением линий . Исторически первыми исследовались реальные расположения линий. Если S трехмерна, то есть расположение плоскостей .

Расположение гиперплоскости в космосе

Общая теория [ править ]

Полурешетка пересечения и матроид [ править ]

Полурешетка пересечений L ( A ) является полурешеткой пересечений, а точнее - геометрической полурешеткой . Если расположение линейное или проективное, или если пересечение всех гиперплоскостей непусто, решетка пересечений является геометрической решеткой . (Вот почему полурешетка должна быть упорядочена по обратному включению, а не по включению, что может показаться более естественным, но не приведет к геометрической (полу) решетке.)

Когда L ( ) является решеткой, то матроидом из А , написанный М ( ), имеет А для его набора заземления и имеет функцию ранга г ( S ): = codim ( I ), где S является любое подмножество A и I является пересечением гиперплоскостей в S . В общем случае, когда L ( A ) является полурешеткой, существует аналогичная матроидоподобная структура, называемая полуматроидом., который является обобщением матроида (и имеет такое же отношение к полурешетке пересечений, как и матроид к решетке в случае решетки), но не является матроидом, если L ( A ) не является решеткой.

Полиномы [ править ]

Для подмножества B в A определим f ( B ): = пересечение гиперплоскостей в B ; это S, если B пусто. Характеристический полином А , написанный р ( у ), может быть определен

${\ displaystyle p_ {A} (y): = \ sum _ {B} (- 1) ^ {| B |} y ^ {\ dim f (B)},}$

суммируется по всем подмножествам B в A, кроме, в аффинном случае, подмножеств, пересечение которых пусто. (Размерность пустого множества определена как -1.) Этот многочлен помогает решить некоторые основные вопросы; Смотри ниже. Другой многочлен, связанный с A, - это многочлен числа Уитни w _A ( x , y ), определяемый формулой

${\ displaystyle w_ {A} (x, y): = \ sum _ {B} x ^ {n- \ dim f (B)} \ sum _ {C} (- 1) ^ {| CB |} y ^ {\ dim f (C)},}$

просуммировано по B ⊆ C ⊆ A таким, что f ( B ) непусто.

Будучи геометрической решеткой или полурешеткой, L ( A ) имеет характеристический многочлен p _{L ( A )} ( y ), имеющий обширную теорию (см. Матроид ). Таким образом, хорошо знать, что p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ), где i - наименьший размер любой квартиры, за исключением того, что в проективном случае он равен y ^{i + 1} p _{L ( A )} ( y). Многочлен числа Уитни для A аналогичен полиному для L ( A ). (Пустое множество исключается из полурешетки в аффинном случае специально, чтобы эти отношения были действительными.)

Алгебра Орлика – Соломона [ править ]

Полурешетка пересечений определяет другой комбинаторный инвариант компоновки - алгебру Орлика – Соломона . Чтобы определить его, зафиксируйте коммутативное подкольцо K базового поля и сформируйте внешнюю алгебру E векторного пространства

${\displaystyle \bigoplus _{H\in A}Ke_{H}}$

порожденные гиперплоскостями. Сложная цепь структура определена на Е с обычным граничным оператором . Алгебра Орлика-Соломона , то частное от деления Е на идеала , порожденного элементами вида , для которых есть пустое пересечение, и границы элементов одного и того же вида , для которых имеет коразмерность меньше , чем р .${\displaystyle \partial }$${\displaystyle e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}}$${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{p}}$${\displaystyle H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}}$

Настоящие аранжировки [ править ]

В реальном аффинном пространстве дополнение разъединено: оно состоит из отдельных частей, называемых ячейками, или областями, или камерами , каждая из которых является либо ограниченной областью, которая является выпуклым многогранником , либо неограниченной областью, которая является выпуклой многогранной областью, которая идет прочь до бесконечности. Каждая квартира A также разделена на части гиперплоскостями, не содержащими плоскости; эти части называются лица из A . Области - это лица, потому что все пространство плоское. Лица коразмерности 1 можно назвать грани из A . Вполурешеткой граней компоновки называется множество всех граней, упорядоченных по включению . Добавление дополнительного верхнего элемента к полурешетке граней дает решетку граней .

В двух измерениях (то есть в реальной аффинной плоскости ) каждая область представляет собой выпуклый многоугольник (если он ограничен) или выпуклую многоугольную область, уходящую в бесконечность.

• Например, если компоновка состоит из трех параллельных прямых, полурешетка пересечения состоит из плоскости и трех прямых, но не из пустого множества. Есть четыре области, ни одна из них не ограничена.
• Если мы добавим прямую, пересекающую три параллели, то полурешетка пересечения будет состоять из плоскости, четырех прямых и трех точек пересечения. Есть восемь регионов, но ни один из них не ограничен.
• Если мы добавим еще одну линию, параллельную последней, то получится 12 областей, из которых две являются ограниченными параллелограммами .

Типичные проблемы, связанные с расположением в n- мерном реальном пространстве, состоят в том, чтобы сказать, сколько существует областей, или сколько граней размерности 4, или сколько ограниченных областей. На эти вопросы можно ответить только с помощью полурешетки пересечений. Например, две основные теоремы Заславского (1975) заключаются в том, что количество областей аффинного расположения равно (−1) ⁿ p _A (−1), а количество ограниченных областей равно (−1) ⁿ p _A ( 1). Точно так же количество k -мерных граней или ограниченных граней можно считать коэффициентом при x ^{n - k} в (−1) ⁿ w _A (- x, −1) или (−1) ⁿ w _A (- x , 1).

Мейзер (1993) разработал быстрый алгоритм для определения грани расположения гиперплоскостей, содержащих входную точку.

Другой вопрос о расположении в реальном пространстве - решить, сколько областей являются симплексами ( n- мерное обобщение треугольников и тетраэдров ). На этот вопрос нельзя ответить, основываясь только на полурешетке пересечений. Задача Макмаллена требует наименьшего расположения данного измерения в общем положении в реальном проективном пространстве, для которого не существует ячейки, затрагиваемой всеми гиперплоскостями.

Реальная линейная конфигурация, помимо полурешетки лицевой стороны, имеет набор областей , различный для каждой области. Это ч.у.м. формируются путем выбора произвольной базовую области, B ₀ , и ассоциирования с каждой областью R множество S ( R ) , состоящим из гиперплоскостей , что отдельный R от B . Области частично упорядочены так, что R ₁ ≥ R _2, если S ( R ₁ , R ) содержит S ( R ₂ , R). В частном случае, когда гиперплоскости возникают из корневой системы , результирующий ч.у.м. является соответствующей группой Вейля со слабым порядком Брюа. В общем, расположение регионов ранжируется по количеству разделяющих гиперплоскостей, и вычисляется его функция Мёбиуса ( Edelman 1984 ).

Вадим Шехтман и Александр Варченко ввели матрицу с индексацией по регионам. Матричный элемент для области и задается произведением неопределенных переменных для каждой гиперплоскости H, которая разделяет эти две области. Если эти переменные специализированы, чтобы быть всеми значениями q, то это называется q-матрицей (в евклидовой области ) для расположения, и большая часть информации содержится в ее нормальной форме Смита .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{j}}$${\displaystyle a_{H}}$${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$

Сложные аранжировки [ править ]

В сложном аффинном пространстве (которое трудно визуализировать, потому что даже комплексная аффинная плоскость имеет четыре реальных измерения) дополнение соединено (все одно целое) с отверстиями, из которых были удалены гиперплоскости.

Типичная проблема расположения в сложном пространстве - описать отверстия.

Основная теорема о комплексных конфигурациях состоит в том, что когомологии дополнения M ( A ) полностью определяются полурешеткой пересечений. Чтобы быть точным, кольцо когомологий M ( ) (с целыми коэффициентами) является изоморфна алгебре Орлика-Соломона на Z .

Изоморфизм может быть описан явно и дает представление когомологий в терминах генераторов и соотношений, где генераторы представлены (в когомологиях де Рама ) в виде логарифмических дифференциальных форм

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}$

с любой линейной формой, определяющей общую гиперплоскость компоновки.${\displaystyle \alpha }$

Технические характеристики [ править ]

Иногда удобно допустить, чтобы вырожденная гиперплоскость , то есть все пространство S , принадлежала компоновке. Если A содержит вырожденную гиперплоскость, то у нее нет областей, потому что дополнение пусто. Однако у него все еще есть квартиры, полурешетка пересечений и грани. Предыдущее обсуждение предполагает, что вырожденная гиперплоскость не входит в структуру.

Иногда хочется разрешить в компоновке повторяющиеся гиперплоскости. Мы не рассматривали эту возможность в предыдущем обсуждении, но это не имеет существенного значения.

См. Также [ править ]

• Сверхрешаемая договоренность
• Ориентированный матроид

Ссылки [ править ]

• "Устройство гиперплоскостей" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Edelman, Paul H. (1984), "частичный порядок по регионам расчленены гиперплоскостях", Труды Американского математического общества , 283 (2): 617-631, DOI : 10,2307 / 1999150 , JSTOR 1999150 , MR 0737888${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  .
• Meiser, Стефан (1993), "Точка расположение в механизмах гиперплоскостей", информация и вычисления , 106 (2): 286-303, DOI : 10,1006 / inco.1993.1057 , МР  1241314.
• Орлик, Питер ; Терао, Хироаки (1992), механизмы гиперплоскостей , Grundlehren Wissenschaften уравнений математического [фундаментальные принципы математических наук], 300 , Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-02772-1 , МР  1217488.
• Стэнли, Ричард (2011). «3.11 Гиперплоскости». Перечислительная комбинаторика . 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 1107602629.
• Заславский, Томас (1975), "Облицовка до договоренностей: формулы подсчета лиц для разделения пространства гиперплоскостями", Мемуары Американского математического общества , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (№ 154), DOI : 10.1090 / memo / 0154 , Руководство по ремонту  0357135.