В механике напряжение в цилиндре - это распределение напряжений с симметрией вращения; то есть, который остается неизменным, если объект, находящийся под напряжением, вращается вокруг некоторой фиксированной оси.
Типы напряжений в цилиндрах включают:
- окружное напряжение , или кольцевое напряжение , нормальное напряжение в тангенциальном ( азимутальном ) направлении.
- осевое напряжение , нормальное напряжение, параллельное оси цилиндрической симметрии.
- радиальное напряжение , нормальное напряжение в направлениях, копланарных, но перпендикулярных оси симметрии.
Эти три главных напряжения - кольцевое, продольное и радиальное - могут быть рассчитаны аналитически с использованием взаимно перпендикулярной трехосной системы напряжений. [1]
Классический пример (и тезка) обручального напряжения - это натяжение железных лент или обручей деревянной бочки . В прямой закрытой трубе любая сила, приложенная к стенке цилиндрической трубы из-за перепада давления , в конечном итоге вызовет кольцевые напряжения. Точно так же, если эта труба имеет плоские торцевые заглушки, любая сила, приложенная к ним статическим давлением, вызовет перпендикулярное осевое напряжение на той же стенке трубы. Тонкие секции часто имеют пренебрежимо малое радиальное напряжение , но точные модели толстостенных цилиндрических оболочек требуют учета таких напряжений.
В толстостенных сосудах высокого давления можно использовать конструкционные методы, позволяющие создавать благоприятные исходные образцы напряжений. Эти сжимающие напряжения на внутренней поверхности уменьшают общее кольцевое напряжение в цилиндрах под давлением. Цилиндрические сосуды такого типа обычно конструируются из концентрических цилиндров, сжатых друг над другом (или расширяемых) друг над другом, то есть сборных цилиндров с горячей посадкой, но также могут быть выполнены для отдельных цилиндров посредством автоматического растяжения толстых цилиндров. [2]
Определения
Растягивающая нагрузка центробежного происхождения
Кольцевое напряжение - это сила, действующая на площадь по окружности (перпендикулярно оси и радиусу объекта) в обоих направлениях на каждую частицу в стенке цилиндра. Его можно описать как:
где:
- F - это сила, действующая по окружности на участок стенки цилиндра, который имеет две следующие длины в качестве сторон:
- t - радиальная толщина цилиндра
- l - осевая длина цилиндра.
Альтернативой кольцевому напряжению при описании окружного напряжения является напряжение стенки или натяжение стенки ( T ), которое обычно определяется как общая окружная сила, действующая по всей радиальной толщине: [3]
Наряду с осевым напряжением и радиальным напряжением , окружное напряжение является компонентом тензора напряжений в цилиндрических координатах .
Обычно полезно разложить любую силу, приложенную к объекту с вращательной симметрией, на компоненты, параллельные цилиндрическим координатам r , z и θ . Эти компоненты силы вызывают соответствующие напряжения: радиальное напряжение, осевое напряжение и кольцевое напряжение соответственно.
Отношение к внутреннему давлению
Тонкостенное предположение
Чтобы предположение о тонкостенных стенках было верным, сосуд должен иметь толщину стенки не более одной десятой (часто обозначаемой как Диаметр / t> 20) его радиуса. [4] Это позволяет рассматривать стенку как поверхность и впоследствии использовать уравнение Юнга – Лапласа для оценки кольцевого напряжения, создаваемого внутренним давлением на тонкостенный цилиндрический сосуд высокого давления:
- (для баллона)
- (для шара)
где
- P - внутреннее давление
- t - толщина стенки
- r - средний радиус цилиндра
- напряжение обруча.
Уравнение кольцевого напряжения для тонких оболочек также приблизительно справедливо для сферических сосудов, включая растительные клетки и бактерии, в которых внутреннее тургорное давление может достигать нескольких атмосфер. В практических инженерных приложениях для цилиндров (труб и трубок) кольцевое напряжение часто переустанавливается на давление и называется формулой Барлоу .
В системе дюйм-фунт-секунда (IPS) единицей измерения P являются фунты-сила на квадратный дюйм (psi). Единицы измерения t и d - дюймы (дюймы). Единицы СИ для P - паскали (Па), а t и d = 2 r - в метрах (м).
Когда сосуд закрывается, внутреннее давление действует на них, создавая силу, действующую вдоль оси цилиндра. Это называется осевым напряжением и обычно меньше кольцевого напряжения.
Хотя это может быть приблизительно
Также существует радиальное напряжение которая развернута перпендикулярно поверхности и может быть оценена в тонкостенных цилиндрах как:
Однако в предположении тонкостенной конструкции отношение большой, поэтому в большинстве случаев этот компонент считается незначительным по сравнению с кольцевыми и осевыми напряжениями. [5]
Толстостенные сосуды
Когда исследуемый цилиндр имеет отношение менее 10 (часто цитируется как ) уравнения тонкостенного цилиндра больше не выполняются, поскольку напряжения значительно различаются между внутренней и внешней поверхностями, и напряжением сдвига через поперечное сечение больше нельзя пренебрегать.
Эти напряжения и деформации можно рассчитать с помощью уравнений Ламе , системы уравнений, разработанной французским математиком Габриэлем Ламе .
где:
- а также - константы интегрирования, которые могут быть обнаружены из граничных условий
- - радиус в интересующей точке (например, на внутренней или внешней стенах)
а также может быть найден путем проверки граничных условий. Например, самый простой случай - цельный цилиндр:
если тогда а твердый цилиндр не может иметь внутреннего давления, поэтому
Как и для толстостенных цилиндров, соотношение меньше 10, радиальное напряжение, пропорциональное другим напряжениям, становится значимым (т.е. P уже не много, намного меньше, чем Pr / t и Pr / 2t), и поэтому толщина стенки становится основной рассмотрение дизайна (Харви, 1974, стр. 57).
В теории сосудов высокого давления любой заданный элемент стенки оценивается в системе трехосных напряжений с тремя основными напряжениями: кольцевым, продольным и радиальным. Следовательно, по определению не существует касательных напряжений в поперечной, касательной или радиальной плоскостях. [6]
В толстостенных цилиндрах максимальное напряжение сдвига в любой точке определяется половиной алгебраической разницы между максимальным и минимальным напряжениями, которая, следовательно, равна половине разницы между кольцевым и радиальным напряжениями. Напряжение сдвига достигает максимума на внутренней поверхности, что важно, поскольку оно служит критерием отказа, поскольку хорошо коррелирует с фактическими испытаниями на разрыв толстых цилиндров (Harvey, 1974, стр. 57).
Практические эффекты
Инженерное дело
Разрушение определяется кольцевым напряжением в отсутствие других внешних нагрузок, поскольку это наибольшее главное напряжение. Обратите внимание, что обруч испытывает наибольшую нагрузку внутри (внешняя и внутренняя стороны испытывают одинаковую общую нагрузку, которая распределяется по разным окружностям); следовательно, трещины в трубах теоретически должны начинаться изнутри трубы. Вот почему осмотр труб после землетрясений обычно включает отправку камеры внутрь трубы для проверки на наличие трещин. Податливость определяется эквивалентным напряжением, которое включает кольцевое напряжение и продольное или радиальное напряжение, если оно отсутствует.
Медицина
В патологии из сосудов или желудочно - кишечных стенок , напряжение стенки представляет собой мышечное напряжение на стенке сосуда. В результате закона Лапласа , если в стенке кровеносного сосуда образуется аневризма , радиус сосуда увеличивается. Это означает, что внутренняя сила, действующая на сосуд, уменьшается, и поэтому аневризма будет продолжать расширяться, пока не разорвется. Аналогичная логика применима к образованию дивертикулов в кишечнике . [7]
Историческое развитие теории
Первый теоретический анализ напряжения в цилиндрах был разработан инженером середины 19 века Уильямом Фэйрбэрном при помощи своего математического аналитика Итона Ходжкинсона . Их первый интерес был в изучении дизайна и неудач из паровых котлов . [9] Фэйрберн понял, что кольцевое напряжение вдвое превышает продольное напряжение, что является важным фактором при сборке кожухов котла из катаных листов, соединенных клепкой . Позднее работа была применена к мостостроению и изобретению коробчатой балки . В Железнодорожном мосте Чепсего , то чугунные колонны усиливаются внешними полосами кованого железа . Вертикальная продольная сила - это сжимающая сила, которой чугун хорошо сопротивляется. Кольцевая нагрузка является растягивающей, поэтому добавляется кованое железо, материал с большей прочностью на разрыв, чем чугун.
Смотрите также
- Может быть вызвано напряжением в цилиндре:
- Бостонская катастрофа с патокой
- Взрыв котла
- Связанные инженерные темы:
- Концентрация стресса
- Гидростатический тест
- Коробление
- Артериальное давление # Relation_to_wall_tension
- Трубопровод # Stress_analysis
- Дизайн очень сильно пострадал от этого стресса:
- Сосуд под давлением
- Ракетный двигатель
- Маховик
- Купол Флорентийского собора
- Сосуд под давлением
Рекомендации
- ^ «Расширенный структурный анализ». Университет Суонси, 2020 г., https://engweb.swan.ac.uk/~c.kadapa/teaching/2017-2018/EGF316/week2/EGF316%20Thin%20and%20Thick%20Cylinders%20-%20notes.pdf . По состоянию на 23 октября 2020 г., с. 8.
- ^ Харви, Джон Ф. Теория и конструкция современных сосудов под давлением. Ван Ностранд Рейнхольд, 1974, стр.60, 61.
- ^ Напряжение в артериальных стенках по R Nave. Кафедра физики и астрономии Государственного университета Джорджии. Проверено июнь 2011 г.
- ^ http://www.engineersedge.com/material_science/hoop-stress.htm
- ^ "Сосуды под давлением" (PDF) . web.mit.edu . Проверено 12 июня 2020 .
- ^ «Расширенный структурный анализ». Университет Суонси, 2020 г., https://engweb.swan.ac.uk/~c.kadapa/teaching/2017-2018/EGF316/week2/EGF316%20Thin%20and%20Thick%20Cylinders%20-%20notes.pdf . По состоянию на 23 октября 2020 г., с. 8.
- ^ Э. Гольян, Патология, 2-е изд. Мосби Эльзевьер, Серия быстрых обзоров.
- ^ Джонс, Стивен К. (2009). Брунель в Южном Уэльсе . II: Связь и уголь. Страуд: История Press. п. 247. ISBN. 9780752449128.
- ^ Fairbairn, Уильям (1851). «Строительство котлов». Две лекции: «Строительство котлов» и «О взрывах котлов со средствами предотвращения» . п. 6.
- Сосуды под давлением с тонкими стенками . Основы инженерии . 19 июня 2008 г.