Парадокс Банаха -Тарского — это теорема теоретико -множественной геометрии , которая утверждает следующее: для данного твердого шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств , которые затем можно вернуть обратно. вместе другим способом, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение частей и вращение их без изменения их формы. Однако сами кусочки являются не «твёрдыми телами» в обычном понимании, а бесконечными россыпями точек . Реконструкция может работать всего с пятью частями. [1]
Альтернативная форма теоремы утверждает, что при наличии любых двух «разумных» твердых объектов (например, маленького и огромного шара) разрезанные части одного из них можно снова собрать в другой. Об этом часто неофициально говорят, как «горошину можно разрезать и собрать в Солнце» и называют « парадоксом горошины и Солнца ».
Теорему называют парадоксом , поскольку она противоречит базовой геометрической интуиции. «Удвоение шара» путем деления его на части и перемещения их вращениями и перемещениями без какого-либо растяжения, сгибания или добавления новых точек кажется невозможным, поскольку все эти операции должны , интуитивно говоря, сохранять объем . Интуитивное представление о том, что такие операции сохраняют объемы, не является математически абсурдным и даже включено в формальное определение объемов. Однако здесь это неприменимо, поскольку в этом случае невозможно определить объемы рассматриваемых подмножеств. Их повторная сборка воспроизводит набор, имеющий том, который отличается от тома в начале.
В отличие от большинства теорем геометрии, математическое доказательство этого результата критическим образом зависит от выбора аксиом теории множеств. Это можно доказать с помощью аксиомы выбора , которая позволяет строить неизмеримые множества , т. е. совокупности точек, не имеющие объема в обычном смысле, и построение которых требует несчетного числа вариантов выбора. [2]
В 2005 году было показано, что части разложения можно выбирать таким образом, чтобы их можно было непрерывно перемещать на место, не натыкаясь друг на друга. [3]
Как независимо доказали Леруа [4] и Симпсон, [5] , парадокс Банаха–Тарского не нарушает объемы, если работать с локалями , а не с топологическими пространствами. В этой абстрактной ситуации подпространства могут быть без точки, но при этом непустыми. Части парадоксальной декомпозиции действительно часто пересекаются в смысле локалей, настолько, что некоторым из этих пересечений следует придать положительную массу. Учитывая эту скрытую массу, теория локалей позволяет удовлетворительно измерить все подмножества (и даже все сублокали) евклидова пространства.