Уравнение Больцмана

Уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана ( БТЕ ) описывает статистическое поведение термодинамической системы , не находящейся в состоянии равновесия ; она была изобретена Людвигом Больцманом в 1872 году. ^[2]Классическим примером такой системы является жидкость с температурными градиентами в пространстве, заставляющими тепло перетекать из более горячих областей в более холодные за счет случайного, но смещенного переноса частиц, составляющих эту систему. жидкость. В современной литературе термин «уравнение Больцмана» часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, описывающее изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не в результате анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а в результате рассмотрения распределения вероятностей положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того, что частица займет данную очень небольшую область пространства. (математически элемент объема ) с центром в позиции и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса (таким образом, занимая очень небольшую область импульсного пространства ) в момент времени. $d^{3}\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {p}$ $d^{3}\mathbf {p}$

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость перемещается. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (рассматривая носители заряда в материале как газ). ^[2] См. также уравнение конвекции-диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и единственности решений до сих пор до конца не решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающи. ^[3]^[4]

Множество всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения $x$ , y, z и еще трех для каждой компоненты импульса $p x$ , $py$ , $p z$ . Все пространство шестимерно : точка в этом пространстве равна $(r, p) = (x, y, z, p x, p y, p z)$ , и каждая координата параметризована временем t . Малый объем (« элемент дифференциального объема ») пишется

Поскольку вероятность существования $N$ молекул, у которых все $r$ и $p$ находятся в пределах , находится под вопросом, в основе уравнения лежит величина $f$ , которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства или вероятность на единицу длины в кубе на единицу куба импульса. , в момент времени $t$ . Это функция плотности вероятности : $f$ $($ $r$ $,$ $p$ $,$ $t$ $)$ , определенная так, что $d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}$